Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00009090

В неравенстве всюду прячется $\log_3 x$. Заменим его буквой $u$ — и получится обычное неравенство с дробями. Главное — аккуратно с минусом и единицей в первой дроби.

Область определения: $x\gt 0$; знаменатели не должны быть нулём. Условие $1-\log_3^{2}(3x)\ne 0$ означает $\log_3(3x)\ne\pm 1$, то есть $x\ne 1$ и $x\ne\tfrac19$; а $\log_3 x\ne 0$ даёт $x\ne 1$.

Обозначим $u=\log_3 x$. Тогда $\log_3(9x)-1=(2+u)-1=u+1$, а $1-\log_3^{2}(3x)=1-(1+u)^{2}=-u(u+2)$. Неравенство становится:

$$\dfrac{u+1}{-u(u+2)}-\dfrac{1}{u}\geqslant 0.$$

Приведём к общему знаменателю $u(u+2)$. Числитель: $-(u+1)-(u+2)=-(2u+3)$. Получаем:

$$\dfrac{-(2u+3)}{u(u+2)}\geqslant 0,\qquad \dfrac{2u+3}{u(u+2)}\leqslant 0.$$

Методом интервалов: нуль числителя $u=-\dfrac32$ входит, точки $u=0$ и $u=-2$ выколоты. Получаем $u\lt -2$ или $-\dfrac32\leqslant u\lt 0$.

Возвращаемся к $x$: $u\lt -2$ даёт $0\lt x\lt \dfrac19$; $-\dfrac32\leqslant u\lt 0$ даёт $3^{-3/2}\leqslant x\lt 1$, то есть $\dfrac{\sqrt3}{9}\leqslant x\lt 1$. Итог: $\left(0;\dfrac19\right)\cup\left[\dfrac{\sqrt3}{9};1\right)$.