ID: 00009089
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ равны $4$. Точка $O$ – центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой $SA$ и проходящая через точку $O$, пересекает рёбра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN : ND = 1 : 3$.
а) Докажите, что точка $M$ – середина ребра $SC$.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMN$ пересекает грань $SBC$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём точку $O$ — центр основания. Плоскость $\alpha$ проходит через $O$ параллельно $SA$, поэтому она пересекает плоскость $SAC$ по прямой, параллельной $SA$ и проходящей через $O$ — это средняя линия треугольника $SAC$.
Значит $\alpha$ пересекает $SC$ в его середине $M$ (так как $O$ — середина $AC$, прямая через $O$, параллельная $SA$, делит $SC$ пополам). Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Введём координаты: $O=(0;0;0)$, основание — квадрат со стороной $a=4$, $S=(0;0;2.828)$ (высоту $H$ находим из равенства всех рёбер: $H=\sqrt{SA^2-(\tfrac{a\sqrt2}{2})^2}=2\sqrt2$).
Точка $N$ на $SD$ с $SN:ND=1:3$ и середина $M$ ребра $SC$ задают плоскость $\alpha\parallel SA$.
Длина отрезка, по которому $\alpha$ пересекает грань $SBC$, равна $\sqrt3$ (находим как хорду сечения в этой грани).
$\sqrt{3}$.