ID: 00009088
а) Решите уравнение \cos(\frac{\pi}{2} + 2x) + \sqrt{2} \sin x = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{13\pi}{4}; \frac{19\pi}{4}].
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+2x\right)=-\sin 2x=-2\sin x\cos x:
-2\sin x\cos x+\sqrt2\sin x=0
Вынесем \sin x:
\sin x\,(\sqrt2-2\cos x)=0
Выпишем все серии корней:
\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[\frac{13 \pi}{4};\,\frac{19 \pi}{4}\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[\frac{13 \pi}{4};\,\frac{19 \pi}{4}\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
\frac{15 \pi}{4}, 4 \pi, \frac{17 \pi}{4}
а) x=\pi n;\ x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
б) \frac{15 \pi}{4}, 4 \pi, \frac{17 \pi}{4}