ID: 00009088
а) Решите уравнение $\cos(\frac{\pi}{2} + 2x) + \sqrt{2} \sin x = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{13\pi}{4}; \frac{19\pi}{4}]$.
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение $\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+2x\right)=-\sin 2x=-2\sin x\cos x$:
$$-2\sin x\cos x+\sqrt2\sin x=0$$
Вынесем $\sin x$:
$$\sin x\,(\sqrt2-2\cos x)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{13 \pi}{4};\,\frac{19 \pi}{4}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{13 \pi}{4};\,\frac{19 \pi}{4}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{15 \pi}{4}, 4 \pi, \frac{17 \pi}{4}$$
а) $x=\pi n;\ x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$
б) $\frac{15 \pi}{4}, 4 \pi, \frac{17 \pi}{4}$