Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00009088

Пункт а. Приведение $\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+2x\right)=-\sin 2x=-2\sin x\cos x$:

$$-2\sin x\cos x+\sqrt2\sin x=0$$

Вынесем $\sin x$:

$$\sin x\,(\sqrt2-2\cos x)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{13 \pi}{4};\,\frac{19 \pi}{4}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{13 \pi}{4};\,\frac{19 \pi}{4}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{15 \pi}{4}, 4 \pi, \frac{17 \pi}{4}$$