ID: 00009087
Найдите наибольшее значение функции $y = 3 + 3x^{\frac{2}{3}} - x$ на отрезке $[2; 8]$.
Источник: ФИПИ
Продифференцируем функцию $y=3+3x^{2/3}-x$:
$$y'=3\cdot\dfrac{2}{3}x^{-1/3}-1=\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}-1.$$
Приравняем производную к нулю:
$$\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}=1\;\Rightarrow\;\sqrt[3]{x}=2\;\Rightarrow\;x=8.$$
На отрезке $[2;8]$ при $x<8$ производная положительна ($\sqrt[3]{x}<2$, дробь больше единицы) — функция растёт на всём отрезке.
Раз функция растёт, наибольшее значение — на правом конце отрезка, в точке $x=8$:
$$y(8)=3+3\cdot\sqrt[3]{64}-8=3+3\cdot4-8=7.$$