Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00009087

Продифференцируем функцию $y=3+3x^{2/3}-x$:

$$y'=3\cdot\dfrac{2}{3}x^{-1/3}-1=\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}-1.$$

Приравняем производную к нулю:

$$\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}=1\;\Rightarrow\;\sqrt[3]{x}=2\;\Rightarrow\;x=8.$$

На отрезке $[2;8]$ при $x<8$ производная положительна ($\sqrt[3]{x}<2$, дробь больше единицы) — функция растёт на всём отрезке.

Раз функция растёт, наибольшее значение — на правом конце отрезка, в точке $x=8$:

$$y(8)=3+3\cdot\sqrt[3]{64}-8=3+3\cdot4-8=7.$$