ID: 00009073
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(|x - a - 2| + |x - a + 2|)^2 - a \cdot (|x - a - 2| + |x - a + 2|) + a^2 - 64 = 0$ имеет ровно два различных решения.
Источник: ФИПИ
Обозначим $E=|x-(a+2)|+|x-(a-2)|$ — сумма расстояний от $x$ до точек $a+2$ и $a-2$. Расстояние между ними равно $4$, поэтому $E\ge4$ всегда. Цель — ровно два корня.
$$E^2-aE+(a^2-64)=0\ \Rightarrow\ E=\dfrac{a\pm\sqrt{256-3a^2}}{2}\quad(\text{веществ. при }|a|\le\tfrac{16}{\sqrt3}).$$
Сколько $x$ даёт значение $E=c$: при $c\gt 4$ — два, при $c=4$ — одно, при $c\lt 4$ — ни одного.
Складываем вклады и требуем ровно два решения. Получаем интервал $(2-2\sqrt{13};2+2\sqrt{13})$.
Плюс особая точка $a=\dfrac{16\sqrt3}{3}$ (там под корнем нуль, два значения $E$ сливаются в одно $\gt 4$, дающее два корня).
$(2-2\sqrt{13};\,2+2\sqrt{13})\cup\left\{\dfrac{16\sqrt3}{3}\right\}$