Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00009071

Длинное выражение в скобках повторяется дважды. Обозначим его одной буквой: $E=5x+|2x-a|-|3x|$. Тогда уравнение становится квадратным относительно $E$. Цель — ровно два корня по $x$.

$$E^2-(a+2)E+1=0\ \Rightarrow\ E=\dfrac{(a+2)\pm\sqrt{(a+2)^2-4}}{2}.$$

Итак, $E$ может принимать одно или два значения (зависит от дискриминанта). Но нам нужны корни по $x$, поэтому надо понять геометрию функции $E(x)$.

$E(x)=5x+|2x-a|-|3x|$ — кусочно-линейная функция (ломаная) с изломами в точках $x=\dfrac{a}{2}$ и $x=0$. На каждом куске она линейна, поэтому уравнение $E(x)=c$ (горизонтальная прямая) имеет столько решений, сколько раз ломаная пересекает уровень $c$.

Складываем число решений от каждого значения $E$ и требуем, чтобы в сумме было ровно два. Анализ наклонов ломаной и положения уровней даёт ответ.

Получаем $(-\infty;-4)\cup\left(0;\dfrac12\right)\cup\left(\dfrac12;+\infty\right)$ (точка $\dfrac12$ выколота).