ID: 00009070
Дана правильная пирамида $SABC$, точки $K$ и $M$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. Точки $N$ и $L$ на рёбрах $BC$ и $SA$ соответственно расположены таким образом, что $AL = 4 LS$ и прямые $NL$ и $MK$ пересекаются.
а) Докажите, что прямые $LK$, $MN$ и $BS$ пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение $CN : NB$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты правильной пирамиды $SABC$. Точки $K,M$ — середины $AB,SC$; $L$ на $SA$ с $AL:LS=4:1$; $N$ на $BC$.
Прямые $MK$ и $NL$ лежат в одной плоскости (условие их пересечения), а прямые $LK$, $MN$, $BS$ проходят через одну точку — это проверяется как пересечение трёх плоскостей/прямых в построенных координатах. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Параметризуем $N=B+s\,(C-B)$ и из условия пересечения $NL$ и $MK$ находим $s$.
Получаем $CN:NB=1:4$.
$1 : 4$.