Дана правильная пирамида SABC, точки K и M — середины рёбер AB и SC соответственно. Точки N и L на рёбрах BC и SA соответственно расположены таким образом, что AL равно 4LS и прямые NL и MK пересекаются. а) Докажите, что прямые LK, MN и BS пересекаются в одной точке. б) Найдите отношение CN: NB.

Задание 15 ЕГЭ по математике №00009070

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения пирамид

№2. Задание 15

ID: 00009070

Дана правильная пирамида $$SABC$$ , точки $$K$$ и $$M$$ — середины рёбер $$AB$$ и $$SC$$ соответственно. Точки $$N$$ и $$L$$ на рёбрах $$BC$$ и $$SA$$ соответственно расположены таким образом, что $$AL = 4 LS$$ и прямые $$NL$$ и $$MK$$ пересекаются.

а) Докажите, что прямые $$LK$$ , $$MN$$ и $$BS$$ пересекаются в одной точке.

б) Найдите отношение $$CN : NB$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём координаты правильной пирамиды $$SABC$$ . Точки $$K,M$$ — середины $$AB,SC$$ ; $$L$$ на $$SA$$ с $$AL:LS=4:1$$ ; $$N$$ на $$BC$$ .

Прямые $$MK$$ и $$NL$$ лежат в одной плоскости (условие их пересечения), а прямые $$LK$$ , $$MN$$ , $$BS$$ проходят через одну точку — это проверяется как пересечение трёх плоскостей/прямых в построенных координатах. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Параметризуем $N=B+s\,(C-B)$ и из условия пересечения $$NL$$ и $$MK$$ находим $$s$$ .

Получаем $$CN:NB=1:4$$ .

Ответ

$$1 : 4$$ .

Другие задания по теме «Сечения пирамид» (8)