Дана правильная пирамида SABC , точки K и M — середины рёбер AB и SC соответственно. Точки N и L на рёбрах BC и SA соответственно расположены таким образом, что AL равно 4LS и прямые NL и MK пересекаются. а) Докажите, что прямые LK , MN и BS пересекаются в одной точке. б) Найдите отношение CN: NB .

Задание 14 ЕГЭ по математике: Дана правильная пирамида SABC , точки K и M — середины рёбер AB…

№2. Задание 14

ID: 00009070

Дана правильная пирамида $SABC$ , точки $K$ и $M$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. Точки $N$ и $L$ на рёбрах $BC$ и $SA$ соответственно расположены таким образом, что $AL = 4 LS$ и прямые $NL$ и $MK$ пересекаются.

а) Докажите, что прямые $LK$ , $MN$ и $BS$ пересекаются в одной точке.

б) Найдите отношение $CN : NB$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём координаты правильной пирамиды $SABC$ . Точки $K,M$ — середины $AB,SC$ ; $L$ на $SA$ с $AL:LS=4:1$ ; $N$ на $BC$ .

Прямые $MK$ и $NL$ лежат в одной плоскости (условие их пересечения), а прямые $LK$ , $MN$ , $BS$ проходят через одну точку — это проверяется как пересечение трёх плоскостей/прямых в построенных координатах. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Параметризуем $N=B+s\,(C-B)$ и из условия пересечения $NL$ и $MK$ находим $s$ .

Получаем $CN:NB=1:4$ .

Ответ: $1:4$ .

Ответ

$1 : 4$ .