ID: 00009068
В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.
а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1$, $KC = 3$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
В равностороннем треугольнике $ABD$ медиана $DM$ к стороне $AB$ является и высотой, поэтому $MN$... точнее: $AN=BN$ как медианы граней, значит треугольник $ANB$ равнобедренный, и его медиана $NM$ перпендикулярна $AB$: $MN\perp AB$.
Аналогично из равнобедренного треугольника $CMD$ ($CM=DM$) медиана $MN$ перпендикулярна $CD$: $MN\perp CD$. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Плоскость $\alpha\perp MN$ параллельна прямым $AB$ и $CD$ (обе перпендикулярны $MN$). Её сечение тетраэдра — прямоугольник $KLPQ$, где $KL\parallel AB$, $KQ\parallel CD$.
Из подобия: треугольники $KCL$ и $KBQ$ равносторонние, поэтому $KL=KC=3$, $KQ=KB=1$ (ребро $a=4$).
Площадь сечения $S=KL\cdot KQ=3\cdot1=3$.
$3$.