Задание 15 ЕГЭ по математике №00009068

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения пирамид

№2. Задание 15

ID: 00009068

В правильном тетраэдре $$ABCD$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины рёбер $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $$MN$$ и пересекает ребро $$BC$$ в точке $$K$$ .

а) Докажите, что прямая $$MN$$ перпендикулярна рёбрам $$AB$$ и $$CD$$ .

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $$ABCD$$ плоскостью $\alpha$ , если известно, что $$BK = 1$$ , $$KC = 3$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

В равностороннем треугольнике $$ABD$$ медиана $$DM$$ к стороне $$AB$$ является и высотой, поэтому $$MN$$ ... точнее: $$AN=BN$$ как медианы граней, значит треугольник $$ANB$$ равнобедренный, и его медиана $$NM$$ перпендикулярна $$AB$$ : $MN\perp AB$ .

Аналогично из равнобедренного треугольника $$CMD$$ ( $$CM=DM$$ ) медиана $$MN$$ перпендикулярна $$CD$$ : $MN\perp CD$ . Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Плоскость $\alpha\perp MN$ параллельна прямым $$AB$$ и $$CD$$ (обе перпендикулярны $$MN$$ ). Её сечение тетраэдра — прямоугольник $$KLPQ$$ , где $KL\parallel AB$ , $KQ\parallel CD$ .

Из подобия: треугольники $$KCL$$ и $$KBQ$$ равносторонние, поэтому $$KL=KC=3$$ , $$KQ=KB=1$$ (ребро $$a=4$$ ).

Площадь сечения $S=KL\cdot KQ=3\cdot1=3$ .

Ответ

$$3$$ .

Видеоразбор

Другие задания по теме «Сечения пирамид» (8)