Задание 14 ЕГЭ по математике: В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD…

№2. Задание 14

ID: 00009068

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$ .

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$ .

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$ , если известно, что $BK = 1$ , $KC = 3$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

В равностороннем треугольнике $ABD$ медиана $DM$ к стороне $AB$ является и высотой, поэтому $MN$ ... точнее: $AN=BN$ как медианы граней, значит треугольник $ANB$ равнобедренный, и его медиана $NM$ перпендикулярна $AB$ : $MN\perp AB$ .

Аналогично из равнобедренного треугольника $CMD$ ( $CM=DM$ ) медиана $MN$ перпендикулярна $CD$ : $MN\perp CD$ . Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Плоскость $\alpha\perp MN$ параллельна прямым $AB$ и $CD$ (обе перпендикулярны $MN$ ). Её сечение тетраэдра — прямоугольник $KLPQ$ , где $KL\parallel AB$ , $KQ\parallel CD$ .

Из подобия: треугольники $KCL$ и $KBQ$ равносторонние, поэтому $KL=KC=3$ , $KQ=KB=1$ (ребро $a=4$ ).

Площадь сечения $S=KL\cdot KQ=3\cdot1=3$ .

Ответ: $3$ .

Ответ

$3$ .