ID: 00009062
В июле $2026$, $\text{года}$ планируется взять кредит на пять лет в размере $S$, $\text{тыс. рублей}$. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на $30 \%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле $2027$, $2028$ и $2029$, $\text{годов}$ долг остаётся равным $S$, $\text{тыс. рублей}$;
— выплаты в $2030$ и $2031$, $\text{годах}$ равны по $338$, $\text{тыс. рублей}$;
— к июлю $2031$, $\text{года}$ долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Источник: ФИПИ
Кредит на пять лет с необычным графиком: первые три года заёмщик платит только проценты (долг не уменьшается), а в последние два года вносит два равных платежа, гасящих долг.
Долг держится равным исходным 460 тыс. руб. в 2027, 2028 и 2029 годах, поэтому в каждый из этих лет платится только процент: $0{,}3\cdot S$ (всего три раза).
В 2030 и 2031 годах вносят равные платежи $P$. Долг растёт на 30 % ($q=1{,}3$), и после второго платежа обнуляется:
$$\bigl(Sq-P\bigr)q-P=0\ \Rightarrow\ P=\dfrac{S q^2}{q+1}.$$
Здесь равные платежи известны ($P=338$ тыс. руб.). Из формулы находим $S=\dfrac{P(q+1)}{q^2}=460$ тыс. руб., а затем складываем три процентных платежа и два по $P$: общая сумма равна 1 090 тыс. руб.
Общая сумма выплат за пять лет равна 1 090 тыс. рублей (то есть 1 090 000 руб.).
Типичная ошибка — посчитать, что долг в первые годы тоже уменьшается; здесь первые три года уходят только на проценты, и тело долга не меняется.
$1\,090\,000$, $\text{рублей}$.