ID: 00009059
В июле $2026$, $\text{года}$ планируется взять кредит на три года в размере $800$, $\text{тыс. рублей}$. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $10 \%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в $2027$ и $2028$, $\text{годах}$ должны быть равными;
— к июлю $2029$, $\text{года}$ долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в $2029$, $\text{году}$ составит $833,8$, $\text{тыс. рублей}$. Сколько рублей составит платёж $2027$, $\text{года}$?
Источник: ФИПИ
Кредит на три года. В первые два года (2027 и 2028) платежи равны между собой, а в 2029-м последним платежом гасится весь остаток.
Каждый январь долг растёт на 10 %, то есть умножается на $q=1{,}1$. Обозначим долг на июль 2026 года (это и есть сумма кредита) через $S$, а равный платёж 2027 и 2028 годов — через $P$.
Последовательно записываем остаток долга после каждого года:
$$\text{2027:}\ qS-P;\quad \text{2028:}\ q(qS-P)-P;\quad \text{2029 (платёж):}\ q\bigl(q(qS-P)-P\bigr).$$
По условию платёж 2029 года равен 833,8 тыс. руб. Подставляем это в выражения и решаем уравнение относительно $P$: получаем $P=100$ тыс. руб.
Итак, платёж 2027 (и 2028) года равен 100 тыс. руб. Типичная ошибка — взять платежи всех трёх лет равными: равны только платежи 2027 и 2028 годов, а платёж 2029 года вычисляется отдельно.
$100\,000$.