Кредиты

Задание №13. Экономические задачи

№2. Задание 13

ID: 00009057

В июле $$2020$$ , $\text{года}$ планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по $58\,564$ , $\text{рубля}$ , то кредит будет полностью погашен за $$4$$ , $\text{года}$ , а если ежегодно выплачивать по $106\,964$ , $\text{рубля}$ , то кредит будет полностью погашен за $$2$$ , $\text{года}$ . Найдите $$r$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Один и тот же кредит можно погасить разными равными платежами за разное число лет. Сумма кредита от плана не зависит — на этом и строится уравнение для ставки.

Если платить по 58 564 руб. 4 года, сумма кредита равна $S=58 564\cdot\dfrac{q^{4}-1}{(q-1)q^{4}}$ , где $q=1+\tfrac{r}{100}$ . Если платить по 106 964 руб. 2 года — $S=106 964\cdot\dfrac{q^{2}-1}{(q-1)q^{2}}$ .

Приравниваем два выражения для одной и той же суммы $$S$$ и упрощаем (общий множитель $$q-1$$ сокращается):

$58 564\cdot\dfrac{q^{4}-1}{q^{4}}=106 964\cdot\dfrac{q^{2}-1}{q^{2}}.$

После упрощения это сводится к квадратному уравнению относительно $$q^2$$ ; его решение даёт $$q=1{,}1$$ , то есть $$r=10$$ .

Типичная ошибка — приравнять суммы платежей (58 564·4 и 106 964·2) напрямую; равны не суммы выплат, а исходные суммы кредита.

Ответ

Видеоразбор

Другие задания по теме «Кредиты» (8)