ID: 00009057
В июле $2020$, $\text{года}$ планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по $58\,564$, $\text{рубля}$, то кредит будет полностью погашен за $4$, $\text{года}$, а если ежегодно выплачивать по $106\,964$, $\text{рубля}$, то кредит будет полностью погашен за $2$, $\text{года}$. Найдите $r$.
Источник: ФИПИ
Один и тот же кредит можно погасить разными равными платежами за разное число лет. Сумма кредита от плана не зависит — на этом и строится уравнение для ставки.
Если платить по 58 564 руб. 4 года, сумма кредита равна $S=58 564\cdot\dfrac{q^{4}-1}{(q-1)q^{4}}$, где $q=1+\tfrac{r}{100}$. Если платить по 106 964 руб. 2 года — $S=106 964\cdot\dfrac{q^{2}-1}{(q-1)q^{2}}$.
Приравниваем два выражения для одной и той же суммы $S$ и упрощаем (общий множитель $q-1$ сокращается):
$$58 564\cdot\dfrac{q^{4}-1}{q^{4}}=106 964\cdot\dfrac{q^{2}-1}{q^{2}}.$$
После упрощения это сводится к квадратному уравнению относительно $q^2$; его решение даёт $q=1{,}1$, то есть $r=10$.
Типичная ошибка — приравнять суммы платежей (58 564·4 и 106 964·2) напрямую; равны не суммы выплат, а исходные суммы кредита.
$10$.