ID: 00009057
В июле 2020, \text{года} планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r \% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58\,564, \text{рубля}, то кредит будет полностью погашен за 4, \text{года}, а если ежегодно выплачивать по 106\,964, \text{рубля}, то кредит будет полностью погашен за 2, \text{года}. Найдите r.
Источник: ФИПИ
Один и тот же кредит можно погасить разными равными платежами за разное число лет. Сумма кредита от плана не зависит — на этом и строится уравнение для ставки.
Если платить по 58 564 руб. 4 года, сумма кредита равна S=58 564\cdot\dfrac{q^{4}-1}{(q-1)q^{4}}, где q=1+\tfrac{r}{100}. Если платить по 106 964 руб. 2 года — S=106 964\cdot\dfrac{q^{2}-1}{(q-1)q^{2}}.
Приравниваем два выражения для одной и той же суммы S и упрощаем (общий множитель q-1 сокращается):
58 564\cdot\dfrac{q^{4}-1}{q^{4}}=106 964\cdot\dfrac{q^{2}-1}{q^{2}}.
После упрощения это сводится к квадратному уравнению относительно q^2; его решение даёт q=1{,}1, то есть r=10.
Типичная ошибка — приравнять суммы платежей (58 564·4 и 106 964·2) напрямую; равны не суммы выплат, а исходные суммы кредита.
10.