ID: 00009056
В июле 2020, \text{года} планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 10 \% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40\,980, \text{рублей} больше суммы, взятой в кредит?
Источник: ФИПИ
В этой задаче кредит гасится равными ежегодными платежами, поэтому удобно работать с формулой суммы геометрической прогрессии.
Каждый январь долг увеличивается на 10 %, то есть умножается на q=1{,}1, а затем вносится один и тот же платёж X. Всего таких платежей 3, после последнего долг равен нулю.
Записав, что после каждого платежа от долга остаётся «прошлый долг \times q минус X», и собрав все шаги вместе, получаем равенство для суммы кредита S:
S\cdot q^{3}=X\left(q^{2}+q^{1}+\dots+q+1\right)=X\cdot\dfrac{q^{3}-1}{q-1}.
По условию переплата (то, что выплачено сверх взятого) равна 40 980 рублей, то есть 3X-S=40 980. Подставив сюда выражение для S через X, получаем одно уравнение с одним неизвестным.
3X-X\cdot\dfrac{q^{3}-1}{(q-1)\,q^{3}}=40 980.
Решив его, находим платёж X=79 860 рублей, после чего планируется взять 198 600 рублей.
Полезно проверить себя: подставьте найденную сумму обратно и 3 раз выполните «умножение на q и вычитание платежа» — долг должен обнулиться ровно после последнего года. Типичная ошибка — забыть, что проценты начисляются на остаток долга, а не на исходную сумму.
198\,600.