Кредиты

Задание №13. Экономические задачи

№2. Задание 13

ID: 00009056

В июле $$2020$$ , $\text{года}$ планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на $10 \%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $40\,980$ , $\text{рублей}$ больше суммы, взятой в кредит?

Источник: ФИПИ

Решение

В этой задаче кредит гасится равными ежегодными платежами, поэтому удобно работать с формулой суммы геометрической прогрессии.

Каждый январь долг увеличивается на 10 %, то есть умножается на $$q=1{,}1$$ , а затем вносится один и тот же платёж $$X$$ . Всего таких платежей 3, после последнего долг равен нулю.

Записав, что после каждого платежа от долга остаётся «прошлый долг $\times q$ минус $$X$$ », и собрав все шаги вместе, получаем равенство для суммы кредита $$S$$ :

$S\cdot q^{3}=X\left(q^{2}+q^{1}+\dots+q+1\right)=X\cdot\dfrac{q^{3}-1}{q-1}.$

По условию переплата (то, что выплачено сверх взятого) равна 40 980 рублей, то есть $$3X-S=40 980$$ . Подставив сюда выражение для $$S$$ через $$X$$ , получаем одно уравнение с одним неизвестным.

$3X-X\cdot\dfrac{q^{3}-1}{(q-1)\,q^{3}}=40 980.$

Решив его, находим платёж $$X=79 860$$ рублей, после чего планируется взять 198 600 рублей.

Полезно проверить себя: подставьте найденную сумму обратно и 3 раз выполните «умножение на $$q$$ и вычитание платежа» — долг должен обнулиться ровно после последнего года. Типичная ошибка — забыть, что проценты начисляются на остаток долга, а не на исходную сумму.

Ответ

198600

Другие задания по теме «Кредиты» (8)