ID: 00009053
В июле $2020$, $\text{года}$ планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $10 \%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $34\,150$, $\text{рублей}$ больше суммы, взятой в кредит?
Источник: ФИПИ
В этой задаче кредит гасится равными ежегодными платежами, поэтому удобно работать с формулой суммы геометрической прогрессии.
Каждый январь долг увеличивается на 10 %, то есть умножается на $q=1{,}1$, а затем вносится один и тот же платёж $X$. Всего таких платежей 3, после последнего долг равен нулю.
Записав, что после каждого платежа от долга остаётся «прошлый долг $\times q$ минус $X$», и собрав все шаги вместе, получаем равенство для суммы кредита $S$:
$$S\cdot q^{3}=X\left(q^{2}+q^{1}+\dots+q+1\right)=X\cdot\dfrac{q^{3}-1}{q-1}.$$
По условию переплата (то, что выплачено сверх взятого) равна 34 150 рублей, то есть $3X-S=34 150$. Подставив сюда выражение для $S$ через $X$, получаем одно уравнение с одним неизвестным.
$$3X-X\cdot\dfrac{q^{3}-1}{(q-1)\,q^{3}}=34 150.$$
Решив его, находим платёж $X=66 550$ рублей, после чего банку будет выплачено 199 650 рублей.
Полезно проверить себя: подставьте найденную сумму обратно и 3 раз выполните «умножение на $q$ и вычитание платежа» — долг должен обнулиться ровно после последнего года. Типичная ошибка — забыть, что проценты начисляются на остаток долга, а не на исходную сумму.
$199\,650$.