Задание 16 ЕГЭ по математике: 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 ,…

№2. Задание 16

ID: 00009051

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму $600$ , $\text{тысяч рублей}$ на $(n + 1)$ , $\text{месяц}$ . Условия его возврата таковы:

— $1$ -го числа каждого месяца долг возрастает на $3 \%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со $2$ -го по $14$ -е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— $15$ -го числа каждого месяца с $1$ -го по $n$ -й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$ -е число предыдущего месяца;

— $15$ -го числа $n$ -го месяца долг составит $200$ , $\text{тысяч рублей}$ ;

— к $15$ -му числу $(n + 1)$ -го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $n$ , если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит $852$ , $\text{тысячи рублей}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Это помесячный «дифференцированный» кредит: 1-го числа каждого месяца долг растёт на $r\,\%$ , а 15-го его уменьшают так, чтобы он падал равными ступенями; в последний месяц гасится остаток.

Долг (в тыс. руб.) на 15-е число убывает равными ступенями по 20: $600,\ 580,\ \dots$ — всего 20 ступеней, после чего 21-м платежом гасится остаток $200$ тыс. руб.

Платёж каждого месяца — это «ступень погашения 20 плюс проценты на долг прошлого месяца». Последний платёж равен остатку $200$ , выросшему на $r\,\%$ . Сумма всех платежей равна 852 тыс. руб.:

$\underbrace{20\cdot20}_{\text{ступени}=400}+x\cdot(\text{сумма долгов прошлых месяцев})+(1+x)\cdot200=852.$

Решая относительно числа месяцев, получаем $n=20$ .

Типичная ошибка — начислять проценты на исходный долг, а не на остаток прошлого месяца, или забыть про отдельный последний платёж.

Ответ

$20$ .