Кредиты

Задание №13. Экономические задачи

№2. Задание 13

ID: 00009049

В июле $$2025$$ , $\text{года}$ планируется взять кредит на десять лет в размере $$500$$ , $\text{тыс. рублей}$ . Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на $30 \%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле $$2026$$ , $$2027$$ , $$2028$$ , $$2029$$ и $$2030$$ , $\text{годов}$ долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле $$2031$$ , $$2032$$ , $$2033$$ , $$2034$$ и $$2035$$ , $\text{годов}$ долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю $$2035$$ , $\text{года}$ долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна $$1250$$ , $\text{тыс. рублей}$ . Сколько рублей составит платёж в $$2035$$ , $\text{году}$ ?

Источник: ФИПИ

Решение

Долг гасится двумя «дифференцированными» этапами: сначала пять лет он убывает равными ступенями до некоторой середины, затем ещё пять лет — другими равными ступенями до нуля.

Обозначим долг (в тыс. руб.) на июль 2030 года через $$M$$ . Тогда первые пять лет долг убывает по $\tfrac{S-M}{5}$ , а вторые пять лет — по $\tfrac{M}{5}$ за год.

Каждый годовой платёж — это «проценты на долг прошлого года плюс ступень погашения». Сложив все десять платежей, замечаем: все ступени вместе дают весь кредит $$S$$ , а сумма процентов равна ставке, умноженной на сумму всех долгов по годам. Это приводит к компактной формуле:

$\text{сумма выплат}=S+x\,(3S+5M),\qquad x=0{,}3.$

Найдём середину: при $$S=500$$ , ставке 30 % и сумме 1 250 получаем $$M=200$$ тыс. руб., поэтому вторая ступень $d_2=\tfrac{M}{5}=40$ .

Последний платёж (2035 год) гасит предпоследний долг, равный одной ступени $$d_2$$ : он равен $d_2\,(1+x)=40\cdot1{,}3=52$ тыс. руб.

Платёж в 2035 году составит 52 тыс. рублей (то есть 52 000 руб.).

Типичная ошибка — перепутать число ступеней (их по пять в каждой половине, а лет всего десять) или начислить проценты на исходную, а не на текущую величину долга.

Ответ

52000

Видеоразбор

Другие задания по теме «Кредиты» (8)