ID: 00009046
$15$-го декабря планируется взять кредит в банке на $21$, $\text{месяц}$. Условия его возврата таковы:
— $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $3 \%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— $15$-го числа каждого месяца с $1$-го по $20$-й долг должен быть на $30$, $\text{тысяч рублей}$ меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
— к $15$-му числу $21$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит $1604$, $\text{тысячи рублей}$?
Источник: ФИПИ
Это помесячный «дифференцированный» кредит: 1-го числа каждого месяца долг растёт на $r\,\%$, а 15-го его уменьшают так, чтобы он падал равными ступенями; в последний месяц гасится остаток.
Долг (в тыс. руб.) на 15-е число убывает равными ступенями по 30: $1 100,\ 1 070,\ \dots$ — всего 20 ступеней, после чего 21-м платежом гасится остаток $500$ тыс. руб.
Платёж каждого месяца — это «ступень погашения 30 плюс проценты на долг прошлого месяца». Последний платёж равен остатку $500$, выросшему на $r\,\%$. Сумма всех платежей равна 1 604 тыс. руб.:
$$\underbrace{30\cdot20}_{\text{ступени}=600}+x\cdot(\text{сумма долгов прошлых месяцев})+(1+x)\cdot500=1 604.$$
Решая уравнение относительно суммы кредита, получаем $S=1 100$ тыс. руб., то есть 1 100 000 рублей.
Типичная ошибка — начислять проценты на исходный долг, а не на остаток прошлого месяца, или забыть про отдельный последний платёж.
$1\,100\,000$, $\text{рублей}$.