ID: 00009043
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $5$, $\text{млн рублей}$ на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $20 \%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит $7,5$, $\text{млн рублей}$?
Источник: ФИПИ
Долг каждый год уменьшается на одну и ту же величину и за $k$ лет доходит до нуля — это дифференцированная схема, и платежи образуют арифметическую прогрессию.
Пусть кредит берут на $k$ лет. Тогда долг на июль убывает равными ступенями: $S,\ S-\tfrac{S}{k},\ \dots,\ 0$, где $S=5$ (в млн руб.).
Каждый платёж — это «проценты на долг прошлого года плюс одна ступень погашения». Все ступени вместе дают сам кредит $S$, а сумму процентов считаем как ставку, умноженную на сумму всех долгов; сумма долгов по годам равна $\dfrac{S(k+1)}{2}$. Поэтому общая сумма выплат равна:
$$\text{сумма выплат}=S+x\cdot\dfrac{S(k+1)}{2},\qquad x=0{,}2.$$
Подставляем $S=5$ и ставку 20 %, приравниваем к заданной сумме 7,5 (в млн руб.) и решаем относительно $k$. Получаем $k=4$.
Значит, кредит планируется взять на 4 лет. Проверка: при этом числе лет сумма выплат действительно равна 7,5 млн руб. Типичная ошибка — посчитать число ступеней погашения на единицу больше или меньше, чем число лет.
$4$.