ID: 00009037
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ – центр основания пирамиды, точка $M$ – середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK : KC = 3 : 2$, a $AB = 4$ и $SO = 2\sqrt{23}$.
а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD$.
Источник: ФИПИ
Введём координаты с центром основания в начале: $A=(2;2;0)$, $B=(-2;2;0)$, $C=(-2;-2;0)$, $D=(2;-2;0)$, $O=(0;0;0)$, и вершина $S=(0;0;2\sqrt{23})$ (так как $SO=2\sqrt{23}$, а $AB=4$).
Отмеченные точки: $M$ — середина $SC$, то есть $M=(-1;-1;\sqrt{23})$; $K$ на $BC$ с $BK:KC=3:2$, то есть $K=B+\tfrac35(C-B)=\left(-2;-\tfrac25;0\right)$.
Пункт а. Плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA$, если её нормаль перпендикулярна $\overrightarrow{SA}$. Нормаль $\vec n=\overrightarrow{OM}\times\overrightarrow{OK}$, где $\overrightarrow{OM}=(-1;-1;\sqrt{23})$, $\overrightarrow{OK}=\left(-2;-\tfrac25;0\right)$.
Получаем $\vec n=\left(\tfrac{2\sqrt{23}}{5};-2\sqrt{23};-\tfrac85\right)$. Удобно умножить на $\tfrac52$: $\vec n=(\sqrt{23};-5\sqrt{23};-4)$. Проверяем: $\overrightarrow{SA}=A-S=(2;2;-2\sqrt{23})$, и $\vec n\cdot\overrightarrow{SA}=2\sqrt{23}-10\sqrt{23}+8\sqrt{23}=0$.
Скалярное произведение нулевое, значит $OMK\parallel SA$, что и требовалось доказать. Заодно запишем уравнение плоскости (она проходит через $O$): $\sqrt{23}\,x-5\sqrt{23}\,y-4z=0$.
Пункт б. Грань $SAD$ — это треугольник с вершинами $S$, $A=(2;2;0)$, $D=(2;-2;0)$. Найдём, где плоскость $OMK$ пересекает его рёбра.
Ребро $AD$ — это точки $(2;y;0)$. Подставляем в уравнение: $2\sqrt{23}-5\sqrt{23}\,y=0$, откуда $y=\tfrac25$. Первый конец отрезка $E=\left(2;\tfrac25;0\right)$.
Ребро $SD$ — это $X=S+r\,(D-S)=(2r;-2r;2\sqrt{23}(1-r))$. Подставляем: $20\sqrt{23}\,r-8\sqrt{23}=0$, откуда $r=\tfrac25$. Второй конец $F=\left(\tfrac45;-\tfrac45;\tfrac{6\sqrt{23}}5\right)$.
Длина отрезка: $\overrightarrow{EF}=F-E=\left(-\tfrac65;-\tfrac65;\tfrac{6\sqrt{23}}5\right)$, поэтому $|EF|=\dfrac15\sqrt{6^2+6^2+(6\sqrt{23})^2}=\dfrac15\sqrt{36+36+828}=\dfrac15\sqrt{900}=\dfrac{30}{5}=6$.
$6$.