В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O – центр основания пирамиды, точка M – середина ребра SC , точка K делит ребро BC в отношении BK: KC равно 3: 2 , a AB равно 4 и SO равно 2 корень из: начало аргумента: 23 конец аргумента . а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA . б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD .

Задание 14 ЕГЭ по математике: В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD…

№2. Задание 14

ID: 00009037

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ – центр основания пирамиды, точка $M$ – середина ребра $SC$ , точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK : KC = 3 : 2$ , a $AB = 4$ и $SO = 2\sqrt{23}$ .

а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA$ .

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Введём координаты с центром основания в начале: $A=(2;2;0)$ , $B=(-2;2;0)$ , $C=(-2;-2;0)$ , $D=(2;-2;0)$ , $O=(0;0;0)$ , и вершина $S=(0;0;2\sqrt{23})$ (так как $SO=2\sqrt{23}$ , а $AB=4$ ).

Отмеченные точки: $M$ — середина $SC$ , то есть $M=(-1;-1;\sqrt{23})$ ; $K$ на $BC$ с $BK:KC=3:2$ , то есть $K=B+\tfrac35(C-B)=\left(-2;-\tfrac25;0\right)$ .

Пункт а. Плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA$ , если её нормаль перпендикулярна $\overrightarrow{SA}$ . Нормаль $\vec n=\overrightarrow{OM}\times\overrightarrow{OK}$ , где $\overrightarrow{OM}=(-1;-1;\sqrt{23})$ , $\overrightarrow{OK}=\left(-2;-\tfrac25;0\right)$ .

Получаем $\vec n=\left(\tfrac{2\sqrt{23}}{5};-2\sqrt{23};-\tfrac85\right)$ . Удобно умножить на $\tfrac52$ : $\vec n=(\sqrt{23};-5\sqrt{23};-4)$ . Проверяем: $\overrightarrow{SA}=A-S=(2;2;-2\sqrt{23})$ , и $\vec n\cdot\overrightarrow{SA}=2\sqrt{23}-10\sqrt{23}+8\sqrt{23}=0$ .

Скалярное произведение нулевое, значит $OMK\parallel SA$ , что и требовалось доказать. Заодно запишем уравнение плоскости (она проходит через $O$ ): $\sqrt{23}\,x-5\sqrt{23}\,y-4z=0$ .

Пункт б. Грань $SAD$ — это треугольник с вершинами $S$ , $A=(2;2;0)$ , $D=(2;-2;0)$ . Найдём, где плоскость $OMK$ пересекает его рёбра.

Ребро $AD$ — это точки $(2;y;0)$ . Подставляем в уравнение: $2\sqrt{23}-5\sqrt{23}\,y=0$ , откуда $y=\tfrac25$ . Первый конец отрезка $E=\left(2;\tfrac25;0\right)$ .

Ребро $SD$ — это $X=S+r\,(D-S)=(2r;-2r;2\sqrt{23}(1-r))$ . Подставляем: $20\sqrt{23}\,r-8\sqrt{23}=0$ , откуда $r=\tfrac25$ . Второй конец $F=\left(\tfrac45;-\tfrac45;\tfrac{6\sqrt{23}}5\right)$ .

Длина отрезка: $\overrightarrow{EF}=F-E=\left(-\tfrac65;-\tfrac65;\tfrac{6\sqrt{23}}5\right)$ , поэтому $|EF|=\dfrac15\sqrt{6^2+6^2+(6\sqrt{23})^2}=\dfrac15\sqrt{36+36+828}=\dfrac15\sqrt{900}=\dfrac{30}{5}=6$ .

Ответ

$6$ .