ID: 00009035
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ равны $4$. Точка $O$ – центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой $SA$ и проходящая через точку $O$, пересекает рёбра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN : ND = 1 : 3$.
а) Докажите, что точка $M$ – середина ребра $SC$.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMN$ пересекает грань $SBC$.
Источник: ФИПИ
Все рёбра равны $4$. Поставим центр основания в начало: $A=(2;2;0)$, $B=(-2;2;0)$, $C=(-2;-2;0)$, $D=(2;-2;0)$, $O=(0;0;0)$. Высота: из бокового ребра $SA=4$ и $OA^2=8$ имеем $SO=\sqrt{16-8}=2\sqrt2$, то есть $S=(0;0;2\sqrt2)$.
Пункт а. Точка $N$ на $SD$ с $SN:ND=1:3$: $N=S+\tfrac14(D-S)=\left(\tfrac12;-\tfrac12;\tfrac{3\sqrt2}2\right)$. Плоскость проходит через $O$ и $N$ и параллельна $SA$, поэтому её нормаль $\vec n=\overrightarrow{ON}\times\overrightarrow{SA}$.
Подсчёт даёт $\vec n=(-\sqrt2;2\sqrt2;1)$ (после сокращения на $2$). Найдём, где плоскость пересекает $SC$: точки ребра $X=S+s(C-S)$, условие $\vec n\cdot\overrightarrow{OX}=0$ приводит к $s=\tfrac12$.
Значит точка пересечения — середина $SC$, то есть $M$ действительно середина ребра $SC$, что и требовалось доказать. При этом $M=(-1;-1;\sqrt2)$.
Пункт б. Нужна длина отрезка, по которому плоскость $OMN$ пересекает грань $SBC$ (треугольник $S$, $B$, $C$). Один конец уже есть — это $M$ на ребре $SC$. Второй конец — на ребре $BC$.
Проверим, какие вершины грани по какую сторону от плоскости: подставляя в $\vec n\cdot\overrightarrow{OX}$, получаем для $S$ и $B$ положительные значения, а для $C$ — отрицательное. Значит плоскость пересекает рёбра $SC$ и $BC$.
На ребре $BC$ берём $X=B+r(C-B)=(-2;2-4r;0)$. Подставляем в $\vec n\cdot\overrightarrow{OX}=0$: $2\sqrt2+2\sqrt2(2-4r)=0$, то есть $6\sqrt2-8\sqrt2\,r=0$, откуда $r=\tfrac34$ и точка $P=(-2;-1;0)$.
Длина отрезка $MP$: $\overrightarrow{MP}=P-M=(-1;0;-\sqrt2)$, поэтому $|MP|=\sqrt{1+0+2}=\sqrt3$.
$\sqrt{3}$.