Все рёбра равны 4. Поставим центр основания в начало: A=(2;2;0), B=(-2;2;0), C=(-2;-2;0), D=(2;-2;0), O=(0;0;0). Высота: из бокового ребра SA=4 и OA^2=8 имеем SO=\sqrt{16-8}=2\sqrt2, то есть S=(0;0;2\sqrt2).

Пункт а. Точка N на SD с SN:ND=1:3: N=S+\tfrac14(D-S)=\left(\tfrac12;-\tfrac12;\tfrac{3\sqrt2}2\right). Плоскость проходит через O и N и параллельна SA, поэтому её нормаль \vec n=\overrightarrow{ON}\times\overrightarrow{SA}.

Подсчёт даёт \vec n=(-\sqrt2;2\sqrt2;1) (после сокращения на 2). Найдём, где плоскость пересекает SC: точки ребра X=S+s(C-S), условие \vec n\cdot\overrightarrow{OX}=0 приводит к s=\tfrac12.

Значит точка пересечения — середина SC, то есть M действительно середина ребра SC, что и требовалось доказать. При этом M=(-1;-1;\sqrt2).

Пункт б. Нужна длина отрезка, по которому плоскость OMN пересекает грань SBC (треугольник S, B, C). Один конец уже есть — это M на ребре SC. Второй конец — на ребре BC.

Проверим, какие вершины грани по какую сторону от плоскости: подставляя в \vec n\cdot\overrightarrow{OX}, получаем для S и B положительные значения, а для C — отрицательное. Значит плоскость пересекает рёбра SC и BC.

На ребре BC берём X=B+r(C-B)=(-2;2-4r;0). Подставляем в \vec n\cdot\overrightarrow{OX}=0: 2\sqrt2+2\sqrt2(2-4r)=0, то есть 6\sqrt2-8\sqrt2\,r=0, откуда r=\tfrac34 и точка P=(-2;-1;0).

Длина отрезка MP: \overrightarrow{MP}=P-M=(-1;0;-\sqrt2), поэтому |MP|=\sqrt{1+0+2}=\sqrt3.