ID: 00009034
В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ – середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.
а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1$, $KC = 3$.
Источник: ФИПИ
Пункт а. Заметим симметрию правильного тетраэдра. Поменяем местами вершины $A$ и $B$ — тетраэдр перейдёт в себя, а середина $N$ ребра $CD$ останется на месте. Поэтому $NA=NB$, то есть треугольник $ANB$ равнобедренный, и медиана $NM$ (а $M$ — середина $AB$) является в нём высотой: $MN\perp AB$.
Точно так же поменяем местами $C$ и $D$ — середина $M$ ребра $AB$ останется на месте, значит $MC=MD$, треугольник $CMD$ равнобедренный, и его медиана $MN$ — высота: $MN\perp CD$. Итак, $MN\perp AB$ и $MN\perp CD$, что и требовалось доказать.
Пункт б. Раз $MN$ перпендикулярна и $AB$, и $CD$, то любая плоскость $\alpha\perp MN$ параллельна обеим этим прямым. Значит сечение — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны $AB$, а две другие — $CD$, то есть параллелограмм.
В правильном тетраэдре противоположные рёбра перпендикулярны ($AB\perp CD$), поэтому стороны сечения тоже перпендикулярны — сечение является прямоугольником.
Длина ребра тетраэдра: $BK+KC=1+3=4$. Плоскость пересекает ребро $BC$ в точке $K$ с $BK:KC=1:3$. Найдём стороны прямоугольника по теореме Фалеса.
Сторона, параллельная $AB$: лежит в грани $ABC$, через $K$. Её длина равна $AB\cdot\dfrac{KC}{BC}=4\cdot\dfrac34=3$ (отсекается со стороны $C$, противоположной $AB$).
Сторона, параллельная $CD$: лежит в грани $BCD$, через $K$. Её длина равна $CD\cdot\dfrac{BK}{BC}=4\cdot\dfrac14=1$.
Площадь прямоугольника — произведение сторон: $S=3\cdot1=3$.