Задание 14 ЕГЭ по математике: В правильном тетраэдре ABCD точки M и N – середины рёбер AB и CD…

№2. Задание 14

ID: 00009034

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ – середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$ .

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$ .

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$ , если известно, что $BK = 1$ , $KC = 3$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а. Заметим симметрию правильного тетраэдра. Поменяем местами вершины $A$ и $B$ — тетраэдр перейдёт в себя, а середина $N$ ребра $CD$ останется на месте. Поэтому $NA=NB$ , то есть треугольник $ANB$ равнобедренный, и медиана $NM$ (а $M$ — середина $AB$ ) является в нём высотой: $MN\perp AB$ .

Точно так же поменяем местами $C$ и $D$ — середина $M$ ребра $AB$ останется на месте, значит $MC=MD$ , треугольник $CMD$ равнобедренный, и его медиана $MN$ — высота: $MN\perp CD$ . Итак, $MN\perp AB$ и $MN\perp CD$ , что и требовалось доказать.

Пункт б. Раз $MN$ перпендикулярна и $AB$ , и $CD$ , то любая плоскость $\alpha\perp MN$ параллельна обеим этим прямым. Значит сечение — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны $AB$ , а две другие — $CD$ , то есть параллелограмм.

В правильном тетраэдре противоположные рёбра перпендикулярны ( $AB\perp CD$ ), поэтому стороны сечения тоже перпендикулярны — сечение является прямоугольником.

Длина ребра тетраэдра: $BK+KC=1+3=4$ . Плоскость пересекает ребро $BC$ в точке $K$ с $BK:KC=1:3$ . Найдём стороны прямоугольника по теореме Фалеса.

Сторона, параллельная $AB$ : лежит в грани $ABC$ , через $K$ . Её длина равна $AB\cdot\dfrac{KC}{BC}=4\cdot\dfrac34=3$ (отсекается со стороны $C$ , противоположной $AB$ ).

Сторона, параллельная $CD$ : лежит в грани $BCD$ , через $K$ . Её длина равна $CD\cdot\dfrac{BK}{BC}=4\cdot\dfrac14=1$ .

Площадь прямоугольника — произведение сторон: $S=3\cdot1=3$ .

Ответ

3