ID: 00009032
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ – середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а $2 AN = 3 NS$.
а) Докажите, что прямые $MN$, $KL$ и $SB$ пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение $BL : LC$.
Источник: ФИПИ
Пункт а. По условию отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, значит все четыре точки $M$, $N$, $K$, $L$ лежат в одной плоскости $\pi$. Эта плоскость пересекает грань $SAB$ по прямой $MN$, а грань $SBC$ — по прямой $KL$.
Грани $SAB$ и $SBC$ пересекаются по ребру $SB$. Три плоскости ($\pi$, $SAB$, $SBC$) попарно пересекаются по трём прямым $MN$, $KL$ и $SB$; по теореме о трёх плоскостях эти прямые либо параллельны, либо проходят через одну точку. Прямые $MN$ и $KL$ не параллельны (они пересекаются как стороны четырёхугольника в $\pi$), поэтому все три проходят через одну точку, что и требовалось доказать.
Пункт б. Перейдём к координатам. Пусть $A=(0;0;0)$, $B=(6;0;0)$, $C=(3;3\sqrt3;0)$, а вершина над центром основания $S=(3;\sqrt3;h)$ (высоту $h$ оставим буквой — увидим, что ответ от неё не зависит).
Тогда $M$ — середина $AB$: $M=(3;0;0)$; $K$ — середина $SC$: $K=\left(3;2\sqrt3;\tfrac h2\right)$; точка $N$ на $SA$ с $AN:NS=3:2$: $N=\tfrac35 S=\left(\tfrac95;\tfrac{3\sqrt3}5;\tfrac{3h}5\right)$. Точку $L$ на $BC$ запишем как $L=B+u\,(C-B)$, где $u=\dfrac{BL}{BC}$.
Четыре точки $M,N,K,L$ компланарны, когда векторы $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{MK}$, $\overrightarrow{ML}$ линейно зависимы, то есть их определитель равен нулю.
Вычисление этого определителя даёт $\dfrac{9\sqrt3\,h\,(5u-3)}{10}=0$. Высота $h$ и числовой множитель сокращаются, остаётся $5u-3=0$, то есть $u=\dfrac35$.
Значит $\dfrac{BL}{BC}=\dfrac35$, поэтому $BL:LC=\dfrac35:\dfrac25=3:2$.
$3 : 2$.