Пункт а. По условию отрезки MK и NL пересекаются, значит все четыре точки M, N, K, L лежат в одной плоскости \pi. Эта плоскость пересекает грань SAB по прямой MN, а грань SBC — по прямой KL.

Грани SAB и SBC пересекаются по ребру SB. Три плоскости (\pi, SAB, SBC) попарно пересекаются по трём прямым MN, KL и SB; по теореме о трёх плоскостях эти прямые либо параллельны, либо проходят через одну точку. Прямые MN и KL не параллельны (они пересекаются как стороны четырёхугольника в \pi), поэтому все три проходят через одну точку, что и требовалось доказать.

Пункт б. Перейдём к координатам. Пусть A=(0;0;0), B=(6;0;0), C=(3;3\sqrt3;0), а вершина над центром основания S=(3;\sqrt3;h) (высоту h оставим буквой — увидим, что ответ от неё не зависит).

Тогда M — середина AB: M=(3;0;0); K — середина SC: K=\left(3;2\sqrt3;\tfrac h2\right); точка N на SA с AN:NS=3:2: N=\tfrac35 S=\left(\tfrac95;\tfrac{3\sqrt3}5;\tfrac{3h}5\right). Точку L на BC запишем как L=B+u\,(C-B), где u=\dfrac{BL}{BC}.

Четыре точки M,N,K,L компланарны, когда векторы \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MK}, \overrightarrow{ML} линейно зависимы, то есть их определитель равен нулю.

Вычисление этого определителя даёт \dfrac{9\sqrt3\,h\,(5u-3)}{10}=0. Высота h и числовой множитель сокращаются, остаётся 5u-3=0, то есть u=\dfrac35.

Значит \dfrac{BL}{BC}=\dfrac35, поэтому BL:LC=\dfrac35:\dfrac25=3:2.