Рёбра DA, DB, DC попарно перпендикулярны — это прямо просит поставить начало координат в D и направить оси по этим трём рёбрам. Пусть A=(p;0;0), B=(0;q;0), C=(0;0;r).

Пункт а. Длины сторон основания через координаты: AB=\sqrt{p^2+q^2}, BC=\sqrt{q^2+r^2}, AC=\sqrt{p^2+r^2}. По условию они равны между собой.

Из p^2+q^2=q^2+r^2 получаем p^2=r^2, а из q^2+r^2=p^2+r^2 получаем q^2=p^2. Значит p=q=r — все три ребра при вершине D равны.

Тогда основание ABC — равносторонний треугольник, а вершина D одинаково удалена от A, B, C, поэтому проектируется в центр основания. Значит пирамида правильная, что и требовалось доказать.

Пункт б. Найдём ребро. Из AB=6\sqrt2 и AB=\sqrt{p^2+p^2}=p\sqrt2 имеем p\sqrt2=6\sqrt2, то есть p=6. Значит A=(6;0;0), B=(0;6;0), C=(0;0;6), D=(0;0;0).

Точки сечения: M на DA с DM:MA=1:2, то есть M=(2;0;0); N на DC с DN:NC=1:2, то есть N=(0;0;2). Сечение MNB — это треугольник с вершинами M, N, B=(0;6;0).

Площадь треугольника — половина длины векторного произведения двух его сторон. Берём \overrightarrow{MN}=N-M=(-2;0;2) и \overrightarrow{MB}=B-M=(-2;6;0).

Векторное произведение \overrightarrow{MN}\times\overrightarrow{MB}=(-12;-4;-12), его длина \sqrt{12^2+4^2+12^2}=\sqrt{144+16+144}=\sqrt{304}=4\sqrt{19}.

Значит площадь сечения S=\dfrac{4\sqrt{19}}{2}=2\sqrt{19}.