ID: 00009030
В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 6\sqrt{2}$.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM : MA = DN : NC = 1 : 2$. Найдите площадь сечения $MNB$.
Источник: ФИПИ
Рёбра $DA$, $DB$, $DC$ попарно перпендикулярны — это прямо просит поставить начало координат в $D$ и направить оси по этим трём рёбрам. Пусть $A=(p;0;0)$, $B=(0;q;0)$, $C=(0;0;r)$.
Пункт а. Длины сторон основания через координаты: $AB=\sqrt{p^2+q^2}$, $BC=\sqrt{q^2+r^2}$, $AC=\sqrt{p^2+r^2}$. По условию они равны между собой.
Из $p^2+q^2=q^2+r^2$ получаем $p^2=r^2$, а из $q^2+r^2=p^2+r^2$ получаем $q^2=p^2$. Значит $p=q=r$ — все три ребра при вершине $D$ равны.
Тогда основание $ABC$ — равносторонний треугольник, а вершина $D$ одинаково удалена от $A$, $B$, $C$, поэтому проектируется в центр основания. Значит пирамида правильная, что и требовалось доказать.
Пункт б. Найдём ребро. Из $AB=6\sqrt2$ и $AB=\sqrt{p^2+p^2}=p\sqrt2$ имеем $p\sqrt2=6\sqrt2$, то есть $p=6$. Значит $A=(6;0;0)$, $B=(0;6;0)$, $C=(0;0;6)$, $D=(0;0;0)$.
Точки сечения: $M$ на $DA$ с $DM:MA=1:2$, то есть $M=(2;0;0)$; $N$ на $DC$ с $DN:NC=1:2$, то есть $N=(0;0;2)$. Сечение $MNB$ — это треугольник с вершинами $M$, $N$, $B=(0;6;0)$.
Площадь треугольника — половина длины векторного произведения двух его сторон. Берём $\overrightarrow{MN}=N-M=(-2;0;2)$ и $\overrightarrow{MB}=B-M=(-2;6;0)$.
Векторное произведение $\overrightarrow{MN}\times\overrightarrow{MB}=(-12;-4;-12)$, его длина $\sqrt{12^2+4^2+12^2}=\sqrt{144+16+144}=\sqrt{304}=4\sqrt{19}$.
Значит площадь сечения $S=\dfrac{4\sqrt{19}}{2}=2\sqrt{19}$.
$2\sqrt{19}$.