ID: 00009028
В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $AA_1$ и $A_1 B_1$ соответственно. Известно, что $AM = 5 M A_1$, $A_1 K = K B_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно плоскости $ABB_1$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ плоскостью $\alpha$, если все ребра призмы равны $12$.
Источник: ФИПИ
Все рёбра призмы равны $12$. Введём координаты: $A=(0;0;0)$, $B=(12;0;0)$, $C=(6;6\sqrt3;0)$ (равносторонний треугольник со стороной $12$), верх на высоте $12$: $A_1=(0;0;12)$, $B_1=(12;0;12)$, $C_1=(6;6\sqrt3;12)$.
Точки: $M$ на $AA_1$ с $AM=5MA_1$, то есть $AM:MA_1=5:1$, значит $AM=10$ и $M=(0;0;10)$. $K$ — середина $A_1B_1$, то есть $K=(6;0;12)$.
Пункт а. Грань $ABB_1$ лежит в плоскости $y=0$, её нормаль — $(0;1;0)$. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна этой грани, значит $\alpha$ содержит направление $(0;1;0)$. Кроме того $\alpha$ проходит через $M$ и $K$. Нормаль $\alpha$ перпендикулярна и $\overrightarrow{MK}$, и $(0;1;0)$: $\vec n=\overrightarrow{MK}\times(0;1;0)$.
$\overrightarrow{MK}=(6;0;2)$, поэтому $\vec n=(6;0;2)\times(0;1;0)=(-2;0;6)$; сократим на $2$ и возьмём $\vec n=(-1;0;3)$. Уравнение $\alpha$ через $M=(0;0;10)$: $-x+3(z-10)=0$, то есть $-x+3z=30$.
Проверим вершину $C_1=(6;6\sqrt3;12)$: $-6+3\cdot12=-6+36=30$ — верно. Значит $\alpha$ проходит через $C_1$, что и требовалось доказать.
Пункт б. Посмотрим, какие рёбра пересекает плоскость $-x+3z=30$. В точке $M$ на $AA_1$, в точке $K$ на $A_1B_1$, и в вершине $C_1$. Нижнюю грань ($z=0$) плоскость встретила бы при $x=-30$ — это вне призмы. Значит сечение — треугольник $MKC_1$.
Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения двух его сторон. Берём $\overrightarrow{MK}=(6;0;2)$ и $\overrightarrow{MC_1}=C_1-M=(6;6\sqrt3;2)$.
Векторное произведение: $\overrightarrow{MK}\times\overrightarrow{MC_1}=(-12\sqrt3;\,0;\,36\sqrt3)$, его длина $\sqrt{(12\sqrt3)^2+0+(36\sqrt3)^2}=\sqrt{432+3888}=\sqrt{4320}=12\sqrt{30}$.
Значит площадь сечения $S=\dfrac{12\sqrt{30}}{2}=6\sqrt{30}$.
$6\sqrt{30}$.