ID: 00009028
В правильной треугольной призме ABC A_1 B_1 C_1 отметили точки M и K на ребрах AA_1 и A_1 B_1 соответственно. Известно, что AM = 5 M A_1, A_1 K = K B_1. Через точки M и K провели плоскость \alpha перпендикулярно плоскости ABB_1.
а) Докажите, что плоскость \alpha проходит через вершину C_1.
б) Найдите площадь сечения призмы ABC A_1 B_1 C_1 плоскостью \alpha, если все ребра призмы равны 12.
Источник: ФИПИ
Все рёбра призмы равны 12. Введём координаты: A=(0;0;0), B=(12;0;0), C=(6;6\sqrt3;0) (равносторонний треугольник со стороной 12), верх на высоте 12: A_1=(0;0;12), B_1=(12;0;12), C_1=(6;6\sqrt3;12).
Точки: M на AA_1 с AM=5MA_1, то есть AM:MA_1=5:1, значит AM=10 и M=(0;0;10). K — середина A_1B_1, то есть K=(6;0;12).
Пункт а. Грань ABB_1 лежит в плоскости y=0, её нормаль — (0;1;0). Плоскость \alpha перпендикулярна этой грани, значит \alpha содержит направление (0;1;0). Кроме того \alpha проходит через M и K. Нормаль \alpha перпендикулярна и \overrightarrow{MK}, и (0;1;0): \vec n=\overrightarrow{MK}\times(0;1;0).
\overrightarrow{MK}=(6;0;2), поэтому \vec n=(6;0;2)\times(0;1;0)=(-2;0;6); сократим на 2 и возьмём \vec n=(-1;0;3). Уравнение \alpha через M=(0;0;10): -x+3(z-10)=0, то есть -x+3z=30.
Проверим вершину C_1=(6;6\sqrt3;12): -6+3\cdot12=-6+36=30 — верно. Значит \alpha проходит через C_1, что и требовалось доказать.
Пункт б. Посмотрим, какие рёбра пересекает плоскость -x+3z=30. В точке M на AA_1, в точке K на A_1B_1, и в вершине C_1. Нижнюю грань (z=0) плоскость встретила бы при x=-30 — это вне призмы. Значит сечение — треугольник MKC_1.
Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения двух его сторон. Берём \overrightarrow{MK}=(6;0;2) и \overrightarrow{MC_1}=C_1-M=(6;6\sqrt3;2).
Векторное произведение: \overrightarrow{MK}\times\overrightarrow{MC_1}=(-12\sqrt3;\,0;\,36\sqrt3), его длина \sqrt{(12\sqrt3)^2+0+(36\sqrt3)^2}=\sqrt{432+3888}=\sqrt{4320}=12\sqrt{30}.
Значит площадь сечения S=\dfrac{12\sqrt{30}}{2}=6\sqrt{30}.
6\sqrt{30}.