ID: 00009027
В основании прямой призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP : PB = 1 : 3$, а точка $Q$ – середина ребра $A_1 C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную отрезку $PQ$.
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1 C_1$, считая от точки $A_1$, если известно, что $AB = AA_1$, $AB : BC = 2 : 5$.
Источник: ФИПИ
Возьмём конкретные размеры по условию $AB:BC=2:5$: пусть $AB=2$, тогда $BC=CA=5$ (основание равнобедренное с основанием $AB$). Положим $A=(-1;0;0)$, $B=(1;0;0)$, а $C$ над серединой $AB$: из $CA=5$ имеем $1+y^2=25$, $y=2\sqrt6$, то есть $C=(0;2\sqrt6;0)$. По условию $AA_1=AB=2$, поэтому $A_1=(-1;0;2)$, $B_1=(1;0;2)$, $C_1=(0;2\sqrt6;2)$.
Отмеченные точки: $P$ на $AB$ с $AP:PB=1:3$, то есть $P=(-0{,}5;0;0)$; $Q$ — середина $A_1C_1$, то есть $Q=(-0{,}5;\sqrt6;2)$; $M$ — середина $BC$, то есть $M=(0{,}5;\sqrt6;0)$.
Плоскость $\alpha$ перпендикулярна $PQ$, поэтому её нормаль — это $\overrightarrow{PQ}=Q-P=(0;\sqrt6;2)$. Уравнение $\alpha$ (проходит через $M$): $\sqrt6\,(y-\sqrt6)+2\,(z-0)=0$, то есть $\sqrt6\,y+2z=6$.
Пункт а. Проверим, что $\alpha$ делит ребро $AC$ пополам. Середина $AC$ — это $\left(-0{,}5;\sqrt6;0\right)$. Подставляем в уравнение: $\sqrt6\cdot\sqrt6+2\cdot0=6$ — верно.
Значит середина $AC$ лежит в $\alpha$, то есть плоскость пересекает $AC$ как раз в его середине, что и требовалось доказать.
Пункт б. Теперь найдём, где $\alpha$ пересекает ребро $A_1C_1$. Точки этого ребра запишем как $X=A_1+s\,(C_1-A_1)=(-1+s;\;2\sqrt6\,s;\;2)$, где $s$ меняется от $0$ (в $A_1$) до $1$ (в $C_1$).
Подставляем в уравнение плоскости: $\sqrt6\cdot2\sqrt6\,s+2\cdot2=6$, то есть $12s+4=6$, откуда $12s=2$ и $s=\dfrac16$.
Значит точка пересечения делит $A_1C_1$ так, что от $A_1$ идёт $\dfrac16$ ребра, а до $C_1$ остаётся $\dfrac56$. Отношение $A_1X:XC_1=\dfrac16:\dfrac56=1:5$.
$\dfrac{1}{5}$.