ID: 00009027
В основании прямой призмы ABC A_1 B_1 C_1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP : PB = 1 : 3, а точка Q – середина ребра A_1 C_1. Через середину M ребра BC провели плоскость \alpha, перпендикулярную отрезку PQ.
a) Докажите, что плоскость \alpha делит ребро AC пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость \alpha делит ребро A_1 C_1, считая от точки A_1, если известно, что AB = AA_1, AB : BC = 2 : 5.
Источник: ФИПИ
Возьмём конкретные размеры по условию AB:BC=2:5: пусть AB=2, тогда BC=CA=5 (основание равнобедренное с основанием AB). Положим A=(-1;0;0), B=(1;0;0), а C над серединой AB: из CA=5 имеем 1+y^2=25, y=2\sqrt6, то есть C=(0;2\sqrt6;0). По условию AA_1=AB=2, поэтому A_1=(-1;0;2), B_1=(1;0;2), C_1=(0;2\sqrt6;2).
Отмеченные точки: P на AB с AP:PB=1:3, то есть P=(-0{,}5;0;0); Q — середина A_1C_1, то есть Q=(-0{,}5;\sqrt6;2); M — середина BC, то есть M=(0{,}5;\sqrt6;0).
Плоскость \alpha перпендикулярна PQ, поэтому её нормаль — это \overrightarrow{PQ}=Q-P=(0;\sqrt6;2). Уравнение \alpha (проходит через M): \sqrt6\,(y-\sqrt6)+2\,(z-0)=0, то есть \sqrt6\,y+2z=6.
Пункт а. Проверим, что \alpha делит ребро AC пополам. Середина AC — это \left(-0{,}5;\sqrt6;0\right). Подставляем в уравнение: \sqrt6\cdot\sqrt6+2\cdot0=6 — верно.
Значит середина AC лежит в \alpha, то есть плоскость пересекает AC как раз в его середине, что и требовалось доказать.
Пункт б. Теперь найдём, где \alpha пересекает ребро A_1C_1. Точки этого ребра запишем как X=A_1+s\,(C_1-A_1)=(-1+s;\;2\sqrt6\,s;\;2), где s меняется от 0 (в A_1) до 1 (в C_1).
Подставляем в уравнение плоскости: \sqrt6\cdot2\sqrt6\,s+2\cdot2=6, то есть 12s+4=6, откуда 12s=2 и s=\dfrac16.
Значит точка пересечения делит A_1C_1 так, что от A_1 идёт \dfrac16 ребра, а до C_1 остаётся \dfrac56. Отношение A_1X:XC_1=\dfrac16:\dfrac56=1:5.
\dfrac{1}{5}.