ID: 00009024
В основании прямой треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ лежит равнобедренный ($AB = BC$) треугольник $ABC$. Точка $K$ – середина ребра $A_1 B_1$, а точка $M$ делит ребро $AC$ в отношении $AM : MC = 1 : 3$.
а) Докажите, что $KM \perp AC$.
б) Найдите угол между прямой $KM$ и плоскостью $ABB_1$, если $AB = 6$, $AC = 8$ и $AA_1 = 3$.
Источник: ФИПИ
Введём координаты. Основание — равнобедренный треугольник с $AB=BC=6$ и $AC=8$. Положим $A=(0;0;0)$, $C=(8;0;0)$, тогда вершина $B$ над серединой $AC$: из $AB=6$ имеем $4^2+y^2=36$, $y^2=20$, $y=2\sqrt5$, поэтому $B=(4;2\sqrt5;0)$. Боковое ребро $3$: $A_1=(0;0;3)$, $B_1=(4;2\sqrt5;3)$.
Найдём отмеченные точки: $K$ — середина $A_1B_1$, то есть $K=(2;\sqrt5;3)$; $M$ делит $AC$ как $AM:MC=1:3$, значит $AM=2$ и $M=(2;0;0)$.
Пункт а. Проверим перпендикулярность через скалярное произведение. $\overrightarrow{KM}=M-K=(0;-\sqrt5;-3)$, $\overrightarrow{AC}=(8;0;0)$.
Их произведение $\overrightarrow{KM}\cdot\overrightarrow{AC}=0\cdot8+(-\sqrt5)\cdot0+(-3)\cdot0=0$. Раз произведение нулевое, то $KM\perp AC$, что и требовалось доказать.
Пункт б. Угол между прямой и плоскостью находят так: $\sin$ этого угла равен $\dfrac{|\overrightarrow{KM}\cdot\vec n|}{|\overrightarrow{KM}|\,|\vec n|}$, где $\vec n$ — нормаль плоскости $ABB_1$.
Нормаль $\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AB_1}$, где $\overrightarrow{AB}=(4;2\sqrt5;0)$, $\overrightarrow{AB_1}=(4;2\sqrt5;3)$. Векторное произведение равно $(6\sqrt5;-12;0)$; сократим на $6$ и возьмём $\vec n=(\sqrt5;-2;0)$, длина $\sqrt{5+4+0}=3$.
Считаем $\overrightarrow{KM}\cdot\vec n=0\cdot\sqrt5+(-\sqrt5)\cdot(-2)+(-3)\cdot0=2\sqrt5$, а $|\overrightarrow{KM}|=\sqrt{0+5+9}=\sqrt{14}$.
Тогда $\sin\varphi=\dfrac{2\sqrt5}{\sqrt{14}\cdot3}=\dfrac{2\sqrt5}{3\sqrt{14}}=\dfrac{2\sqrt5\cdot\sqrt{14}}{3\cdot14}=\dfrac{2\sqrt{70}}{42}=\dfrac{\sqrt{70}}{21}$. Значит искомый угол равен $\operatorname{arcsin}\dfrac{\sqrt{70}}{21}$.
$\text{arcsin} \left( \dfrac{\sqrt{70}}{21} \right)$.