Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00009023

Введём координаты в основании правильной призмы: $A=(0;0;0)$, $B=(8;0;0)$, а $C$ — вершина равностороннего треугольника со стороной $8$: $C=(4;4\sqrt3;0)$. Боковое ребро равно $7$, поэтому $A_1=(0;0;7)$. Точка $M$ на $CC_1$ с $CM=1$ имеет координаты $M=(4;4\sqrt3;1)$.

Пункт а. Точки $O$ и $O_1$ — центры оснований; прямая $OO_1$ вертикальна и проходит через центр $O$ нижнего треугольника. Центр $O$ — это точка пересечения медиан $\triangle ABC$, то есть $O=\left(\dfrac{0+8+4}{3};\dfrac{0+0+4\sqrt3}{3};0\right)=\left(4;\dfrac{4\sqrt3}{3};0\right)$.

Найдём центроид (точку пересечения медиан) треугольника $ABM$ — это среднее его вершин: $G=\left(\dfrac{0+8+4}{3};\dfrac{0+0+4\sqrt3}{3};\dfrac{0+0+1}{3}\right)=\left(4;\dfrac{4\sqrt3}{3};\dfrac13\right)$.

У точек $O$ и $G$ совпадают координаты $x$ и $y$ — они отличаются только высотой. Значит обе лежат на одной вертикальной прямой $OO_1$, то есть $OO_1$ содержит центроид $\triangle ABM$, что и требовалось доказать.

Пункт б. Найдём расстояние от $A_1$ до плоскости $ABM$. Сначала уравнение плоскости через $A$, $B$, $M$: её нормаль — это $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AM}$, где $\overrightarrow{AB}=(8;0;0)$, $\overrightarrow{AM}=(4;4\sqrt3;1)$.

Считаем произведение: $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AM}=(0;-8;32\sqrt3)$; сократим на $8$ и возьмём $\vec n=(0;-1;4\sqrt3)$, его длина $\sqrt{0+1+48}=\sqrt{49}=7$.

Плоскость проходит через $A=(0;0;0)$, поэтому расстояние от $A_1=(0;0;7)$ равно $\rho=\dfrac{|\overrightarrow{AA_1}\cdot\vec n|}{|\vec n|}$, где $\overrightarrow{AA_1}=(0;0;7)$.

$\overrightarrow{AA_1}\cdot\vec n=0\cdot0+0\cdot(-1)+7\cdot4\sqrt3=28\sqrt3$, поэтому $\rho=\dfrac{28\sqrt3}{7}=4\sqrt3$.