Введём координаты в основании правильной призмы: A=(0;0;0), B=(8;0;0), а C — вершина равностороннего треугольника со стороной 8: C=(4;4\sqrt3;0). Боковое ребро равно 7, поэтому A_1=(0;0;7). Точка M на CC_1 с CM=1 имеет координаты M=(4;4\sqrt3;1).

Пункт а. Точки O и O_1 — центры оснований; прямая OO_1 вертикальна и проходит через центр O нижнего треугольника. Центр O — это точка пересечения медиан \triangle ABC, то есть O=\left(\dfrac{0+8+4}{3};\dfrac{0+0+4\sqrt3}{3};0\right)=\left(4;\dfrac{4\sqrt3}{3};0\right).

Найдём центроид (точку пересечения медиан) треугольника ABM — это среднее его вершин: G=\left(\dfrac{0+8+4}{3};\dfrac{0+0+4\sqrt3}{3};\dfrac{0+0+1}{3}\right)=\left(4;\dfrac{4\sqrt3}{3};\dfrac13\right).

У точек O и G совпадают координаты x и y — они отличаются только высотой. Значит обе лежат на одной вертикальной прямой OO_1, то есть OO_1 содержит центроид \triangle ABM, что и требовалось доказать.

Пункт б. Найдём расстояние от A_1 до плоскости ABM. Сначала уравнение плоскости через A, B, M: её нормаль — это \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AM}, где \overrightarrow{AB}=(8;0;0), \overrightarrow{AM}=(4;4\sqrt3;1).

Считаем произведение: \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AM}=(0;-8;32\sqrt3); сократим на 8 и возьмём \vec n=(0;-1;4\sqrt3), его длина \sqrt{0+1+48}=\sqrt{49}=7.

Плоскость проходит через A=(0;0;0), поэтому расстояние от A_1=(0;0;7) равно \rho=\dfrac{|\overrightarrow{AA_1}\cdot\vec n|}{|\vec n|}, где \overrightarrow{AA_1}=(0;0;7).

\overrightarrow{AA_1}\cdot\vec n=0\cdot0+0\cdot(-1)+7\cdot4\sqrt3=28\sqrt3, поэтому \rho=\dfrac{28\sqrt3}{7}=4\sqrt3.