Сначала найдём ребро куба. Введём координаты с ребром a: A=(0;0;0), B=(a;0;0), D=(0;a;0), C=(a;a;0), B_1=(a;0;a). Тогда M — середина AB, то есть M=\left(\tfrac a2;0;0\right), а N — середина AD, то есть N=\left(0;\tfrac a2;0\right).

Пункт а. Проверим перпендикулярность прямых через скалярное произведение их направляющих векторов. \overrightarrow{B_1N}=N-B_1=\left(-a;\tfrac a2;-a\right), \overrightarrow{CM}=M-C=\left(-\tfrac a2;-a;0\right).

Считаем: \overrightarrow{B_1N}\cdot\overrightarrow{CM}=(-a)\left(-\tfrac a2\right)+\tfrac a2\cdot(-a)+(-a)\cdot0=\tfrac{a^2}{2}-\tfrac{a^2}{2}+0=0.

Скалярное произведение равно нулю, значит B_1N\perp CM, что и требовалось доказать.

Пункт б. Из условия B_1N=6 найдём ребро. B_1N=\sqrt{a^2+\tfrac{a^2}{4}+a^2}=\sqrt{\tfrac{9a^2}{4}}=\dfrac{3a}{2}, значит \dfrac{3a}{2}=6 и a=4.

Подставим a=4: N=(0;2;0), B_1=(4;0;4), C=(4;4;0), M=(2;0;0). Плоскость \alpha проходит через N и B_1 параллельно прямой CM, поэтому её нормаль перпендикулярна и \overrightarrow{B_1N}, и направлению \overrightarrow{CM} — берём \vec n=\overrightarrow{B_1N}\times\overrightarrow{CM}.

\overrightarrow{B_1N}=(-4;2;-4), \overrightarrow{CM}=(-2;-4;0), их векторное произведение (-16;8;20); сократим на 4 и возьмём \vec n=(-4;2;5), его длина \sqrt{16+4+25}=\sqrt{45}=3\sqrt5.

Расстояние от точки C до плоскости — это модуль проекции вектора от точки плоскости (возьмём B_1) до C на нормаль, делённый на длину нормали. Вектор \overrightarrow{B_1C}=C-B_1=(0;4;-4).

Считаем: \overrightarrow{B_1C}\cdot\vec n=0\cdot(-4)+4\cdot2+(-4)\cdot5=8-20=-12. Тогда расстояние \rho=\dfrac{|-12|}{3\sqrt5}=\dfrac{12}{3\sqrt5}=\dfrac{4}{\sqrt5}=\dfrac{4\sqrt5}{5}.