Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00009022

Сначала найдём ребро куба. Введём координаты с ребром $a$: $A=(0;0;0)$, $B=(a;0;0)$, $D=(0;a;0)$, $C=(a;a;0)$, $B_1=(a;0;a)$. Тогда $M$ — середина $AB$, то есть $M=\left(\tfrac a2;0;0\right)$, а $N$ — середина $AD$, то есть $N=\left(0;\tfrac a2;0\right)$.

Пункт а. Проверим перпендикулярность прямых через скалярное произведение их направляющих векторов. $\overrightarrow{B_1N}=N-B_1=\left(-a;\tfrac a2;-a\right)$, $\overrightarrow{CM}=M-C=\left(-\tfrac a2;-a;0\right)$.

Считаем: $\overrightarrow{B_1N}\cdot\overrightarrow{CM}=(-a)\left(-\tfrac a2\right)+\tfrac a2\cdot(-a)+(-a)\cdot0=\tfrac{a^2}{2}-\tfrac{a^2}{2}+0=0$.

Скалярное произведение равно нулю, значит $B_1N\perp CM$, что и требовалось доказать.

Пункт б. Из условия $B_1N=6$ найдём ребро. $B_1N=\sqrt{a^2+\tfrac{a^2}{4}+a^2}=\sqrt{\tfrac{9a^2}{4}}=\dfrac{3a}{2}$, значит $\dfrac{3a}{2}=6$ и $a=4$.

Подставим $a=4$: $N=(0;2;0)$, $B_1=(4;0;4)$, $C=(4;4;0)$, $M=(2;0;0)$. Плоскость $\alpha$ проходит через $N$ и $B_1$ параллельно прямой $CM$, поэтому её нормаль перпендикулярна и $\overrightarrow{B_1N}$, и направлению $\overrightarrow{CM}$ — берём $\vec n=\overrightarrow{B_1N}\times\overrightarrow{CM}$.

$\overrightarrow{B_1N}=(-4;2;-4)$, $\overrightarrow{CM}=(-2;-4;0)$, их векторное произведение $(-16;8;20)$; сократим на $4$ и возьмём $\vec n=(-4;2;5)$, его длина $\sqrt{16+4+25}=\sqrt{45}=3\sqrt5$.

Расстояние от точки $C$ до плоскости — это модуль проекции вектора от точки плоскости (возьмём $B_1$) до $C$ на нормаль, делённый на длину нормали. Вектор $\overrightarrow{B_1C}=C-B_1=(0;4;-4)$.

Считаем: $\overrightarrow{B_1C}\cdot\vec n=0\cdot(-4)+4\cdot2+(-4)\cdot5=8-20=-12$. Тогда расстояние $\rho=\dfrac{|-12|}{3\sqrt5}=\dfrac{12}{3\sqrt5}=\dfrac{4}{\sqrt5}=\dfrac{4\sqrt5}{5}$.