Обозначим рёбра буквами: AB=p, AD=q, AA_1=h, и введём координаты с началом в A. Тогда A=(0;0;0), B=(p;0;0), C=(p;q;0), D=(0;q;0), а верхние вершины — те же, но с высотой h: например D_1=(0;q;h).

Пункт а. Плоскость \alpha проходит через B и D_1 и параллельна AC. Найдём, где она пересекает боковые рёбра AA_1 и CC_1. Прямая BD_1 проходит через центр параллелепипеда O=\left(\tfrac p2;\tfrac q2;\tfrac h2\right) (это середина BD_1), поэтому сечение симметрично относительно O.

Подставив координаты, получаем, что \alpha пересекает AA_1 в его середине Q=\left(0;0;\tfrac h2\right) и CC_1 в середине P=\left(p;q;\tfrac h2\right). Значит, сечение — это четырёхугольник BPD_1Q с диагоналями BD_1 и PQ.

Посмотрим на вторую диагональ: \overrightarrow{PQ}=Q-P=(-p;-q;0) — это в точности направление \overrightarrow{CA}. То есть диагональ PQ параллельна AC (так и должно быть, ведь \alpha\parallel AC).

Сечение — ромб, а у ромба диагонали перпендикулярны. Значит BD_1\perp PQ, то есть \overrightarrow{BD_1}\perp\overrightarrow{AC}. Считаем скалярное произведение: \overrightarrow{BD_1}=(-p;q;h), \overrightarrow{AC}=(p;q;0), и \overrightarrow{BD_1}\cdot\overrightarrow{AC}=-p^2+q^2.

Оно равно нулю только при p=q, то есть AB=AD. А прямоугольник с равными сторонами — это квадрат, что и требовалось доказать.

Пункт б. Теперь подставим числа: основание — квадрат со стороной AB=AD=12, высота AA_1=10. Возьмём B=(12;0;0), D_1=(0;12;10), A=(0;0;0), C=(12;12;0).

Нормаль плоскости \alpha — это векторное произведение двух её направлений \overrightarrow{BD_1}=(-12;12;10) и \overrightarrow{AC}=(12;12;0). Получаем \overrightarrow{BD_1}\times\overrightarrow{AC}=(-120;120;-288); сократив на 24, возьмём \vec n=(-5;5;-12).

Грань BCC_1 лежит в плоскости x=12, её нормаль \vec m=(1;0;0). Угол между плоскостями равен углу между нормалями: \cos\varphi=\dfrac{|\vec n\cdot\vec m|}{|\vec n|\,|\vec m|}=\dfrac{5}{\sqrt{25+25+144}}=\dfrac{5}{\sqrt{194}}.

Тогда \sin\varphi=\dfrac{\sqrt{194-25}}{\sqrt{194}}=\dfrac{\sqrt{169}}{\sqrt{194}}=\dfrac{13}{\sqrt{194}}, и \operatorname{tg}\varphi=\dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\dfrac{13}{5}. Значит искомый угол равен \operatorname{arctg}\dfrac{13}{5}.