ID: 00009019
Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
а) Докажите, что грань $ABCD$ – квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1 = 10$, $AB = 12$.
Источник: ФИПИ
Обозначим рёбра буквами: $AB=p$, $AD=q$, $AA_1=h$, и введём координаты с началом в $A$. Тогда $A=(0;0;0)$, $B=(p;0;0)$, $C=(p;q;0)$, $D=(0;q;0)$, а верхние вершины — те же, но с высотой $h$: например $D_1=(0;q;h)$.
Пункт а. Плоскость $\alpha$ проходит через $B$ и $D_1$ и параллельна $AC$. Найдём, где она пересекает боковые рёбра $AA_1$ и $CC_1$. Прямая $BD_1$ проходит через центр параллелепипеда $O=\left(\tfrac p2;\tfrac q2;\tfrac h2\right)$ (это середина $BD_1$), поэтому сечение симметрично относительно $O$.
Подставив координаты, получаем, что $\alpha$ пересекает $AA_1$ в его середине $Q=\left(0;0;\tfrac h2\right)$ и $CC_1$ в середине $P=\left(p;q;\tfrac h2\right)$. Значит, сечение — это четырёхугольник $BPD_1Q$ с диагоналями $BD_1$ и $PQ$.
Посмотрим на вторую диагональ: $\overrightarrow{PQ}=Q-P=(-p;-q;0)$ — это в точности направление $\overrightarrow{CA}$. То есть диагональ $PQ$ параллельна $AC$ (так и должно быть, ведь $\alpha\parallel AC$).
Сечение — ромб, а у ромба диагонали перпендикулярны. Значит $BD_1\perp PQ$, то есть $\overrightarrow{BD_1}\perp\overrightarrow{AC}$. Считаем скалярное произведение: $\overrightarrow{BD_1}=(-p;q;h)$, $\overrightarrow{AC}=(p;q;0)$, и $\overrightarrow{BD_1}\cdot\overrightarrow{AC}=-p^2+q^2$.
Оно равно нулю только при $p=q$, то есть $AB=AD$. А прямоугольник с равными сторонами — это квадрат, что и требовалось доказать.
Пункт б. Теперь подставим числа: основание — квадрат со стороной $AB=AD=12$, высота $AA_1=10$. Возьмём $B=(12;0;0)$, $D_1=(0;12;10)$, $A=(0;0;0)$, $C=(12;12;0)$.
Нормаль плоскости $\alpha$ — это векторное произведение двух её направлений $\overrightarrow{BD_1}=(-12;12;10)$ и $\overrightarrow{AC}=(12;12;0)$. Получаем $\overrightarrow{BD_1}\times\overrightarrow{AC}=(-120;120;-288)$; сократив на $24$, возьмём $\vec n=(-5;5;-12)$.
Грань $BCC_1$ лежит в плоскости $x=12$, её нормаль $\vec m=(1;0;0)$. Угол между плоскостями равен углу между нормалями: $\cos\varphi=\dfrac{|\vec n\cdot\vec m|}{|\vec n|\,|\vec m|}=\dfrac{5}{\sqrt{25+25+144}}=\dfrac{5}{\sqrt{194}}$.
Тогда $\sin\varphi=\dfrac{\sqrt{194-25}}{\sqrt{194}}=\dfrac{\sqrt{169}}{\sqrt{194}}=\dfrac{13}{\sqrt{194}}$, и $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\dfrac{13}{5}$. Значит искомый угол равен $\operatorname{arctg}\dfrac{13}{5}$.
$\text{arctg} \left( \dfrac{13}{5} \right)$.