Что дано: на доске различные натуральные числа, в записи которых только цифры 4 и 9. Полезное наблюдение: каждое такое число оканчивается на 4 или 9, а значит при делении на 5 даёт остаток 4.

Пункт а). Может ли сумма быть 107? Возьмём 94, 9, 4 — они различны, из нужных цифр, и 94+9+4=107. Значит — да.

Пункт б). Может ли сумма быть 289? Сумма m чисел, каждое из которых \equiv 4\pmod 5, сама \equiv 4m\pmod 5. Число 289 даёт остаток 4 при делении на 5, поэтому 4m\equiv 4\pmod 5, откуда m\equiv 1\pmod 5. При m=1 это было бы одно число 289 — но в нём есть цифры, кроме 4 и 9. При m=6 даже шесть самых маленьких подходящих чисел дают 4+9+44+49+94+99=299\gt 289. Других вариантов нет. Значит — нет.

Пункт в). Сумма равна 3986. Так как 3986\equiv 1\pmod 5, а каждое число \equiv 4\pmod 5, имеем 4m\equiv 1\pmod 5, откуда m\equiv 4\pmod 5. Значит чисел может быть 4,9,14,\dots

При m=4 сумма не больше суммы четырёх наибольших подходящих чисел 999+994+949+944=3886, а это меньше 3986 — не хватает. Следующее допустимое — m=9, и оно достижимо: можно подобрать девять различных чисел из цифр 4,9 с суммой ровно 3986. Наименьшее количество чисел — 9.