Задание 20 ЕГЭ по математике №00009012

Что дано: на доске различные натуральные числа, в записи которых только цифры $4$ и $9$. Полезное наблюдение: каждое такое число оканчивается на $4$ или $9$, а значит при делении на $5$ даёт остаток $4$.

Пункт а). Может ли сумма быть $107$? Возьмём $94$, $9$, $4$ — они различны, из нужных цифр, и $94+9+4=107$. Значит — да.

Пункт б). Может ли сумма быть $289$? Сумма $m$ чисел, каждое из которых $\equiv 4\pmod 5$, сама $\equiv 4m\pmod 5$. Число $289$ даёт остаток $4$ при делении на $5$, поэтому $4m\equiv 4\pmod 5$, откуда $m\equiv 1\pmod 5$. При $m=1$ это было бы одно число $289$ — но в нём есть цифры, кроме $4$ и $9$. При $m=6$ даже шесть самых маленьких подходящих чисел дают $4+9+44+49+94+99=299\gt 289$. Других вариантов нет. Значит — нет.

Пункт в). Сумма равна $3986$. Так как $3986\equiv 1\pmod 5$, а каждое число $\equiv 4\pmod 5$, имеем $4m\equiv 1\pmod 5$, откуда $m\equiv 4\pmod 5$. Значит чисел может быть $4,9,14,\dots$

При $m=4$ сумма не больше суммы четырёх наибольших подходящих чисел $999+994+949+944=3886$, а это меньше $3986$ — не хватает. Следующее допустимое — $m=9$, и оно достижимо: можно подобрать девять различных чисел из цифр $4,9$ с суммой ровно $3986$. Наименьшее количество чисел — 9.