ID: 00009011
На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на $15$.
а) Могло ли среди записанных чисел быть больше $5$ чисел, делящихся на $16$?
б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся на $11$?
в) Найдите наибольшее возможное число $k$ такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на $k$.
Источник: ФИПИ
Что дано: написаны подряд идущие натуральные числа, и ровно пять из них делятся на $15$. Сначала поймём, какой длины может быть этот ряд.
Пять кратных $15$ идут друг за другом через $15$, поэтому от первого до пятого расстояние $4\cdot 15=60$, и длина ряда $L\geqslant 61$. Если же ряд станет слишком длинным, появится шестое кратное $15$; чтобы этого не случилось, $L\leqslant 89$. Итак, $61\leqslant L\leqslant 89$.
Пункт а). Могло ли быть больше пяти чисел, кратных $16$? В ряду длины до $89$ кратных $16$ бывает и шесть (например, при $L$ около $88$ помещается шесть чисел, кратных $16$). Значит — да.
Пункт б). Могло ли быть меньше пяти чисел, кратных $11$? В любых $L\geqslant 61$ подряд идущих числах кратных $11$ не меньше $\lfloor 61/11\rfloor=5$. Значит меньше пяти быть не может — нет.
Пункт в). Ищем наибольшее $k$, при котором кратных $k$ больше пяти, то есть хотя бы шесть. Шесть кратных $k$ занимают длину не меньше $5k+1$ (от первого до шестого $5k$, плюс само число). Так как $L\leqslant 89$, нужно $5k+1\leqslant 89$, откуда $k\leqslant 17{,}6$, то есть $k\leqslant 17$.
Значение $k=17$ достижимо: при длине ряда $86$–$89$ (где ровно пять кратных $15$) помещается шесть кратных $17$. Наибольшее значение — 17.
а) да; б) нет; в) $17$.