ID: 00009010
На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «$+$» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано $10$ единиц, то можно получить сумму $136$: $1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136$.
а) Можно ли получить сумму $132$, если $n = 60$?
б) Можно ли получить сумму $132$, если $n = 80$?
в) Для скольких значений $n$ можно получить сумму $132$?
Источник: ФИПИ
Что происходит: написано $n$ единиц подряд, между некоторыми ставят плюсы и складывают. Плюсы разбивают единицы на блоки; блок из $k$ единиц — это число $\underbrace{1\dots 1}_{k}$.
Ключевое наблюдение: «значение блока минус его длина» всегда кратно $9$. Для $1$ это $0$, для $11$ это $11-2=9$, для $111$ это $111-3=108$ и так далее — всегда делится на $9$. Значит и «сумма минус общее число единиц» кратна $9$. Отсюда $132-n$ делится на $9$, то есть $n\equiv 132\equiv 6\pmod 9$.
Пункт а). $n=60$? Проверяем: $60$ даёт остаток $6$ при делении на $9$ — годится. Построим: $8$ блоков «$11$» (это $16$ единиц, дают $88$) и $44$ отдельные единицы; сумма $88+44=132$, единиц $16+44=60$. Значит — да.
Пункт б). $n=80$? Но $80$ даёт остаток $8$ при делении на $9$, а нужно $6$. Значит из $80$ единиц сумму $132$ не получить — нет.
Пункт в). Сколько всего значений $n$ подходит? Запишем сумму через число блоков «$11$» ($a$ штук) и «$111$» ($b$ штук): $132-n=9a+108b$, при этом отдельных единиц $n-2a-3b\geqslant 0$. Если $b\geqslant 2$, то блок $111$ дважды — это уже $222\gt 132$, не годится. Перебирая допустимые $a$ и $b$, получаем ровно $14$ значений $n$: это $15,24,33,\dots,132$ (все дают остаток $6$ по модулю $9$ и реализуемы). Подходят 14 значений $n$.
а) да; б) нет; в) $14$.