ID: 00009009
Для чисел $A$ и $B$, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили $S$ — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для числа $A = 123$ и $B = 579$ получается сумма $S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 9 = 46$.
а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S = 100$?
б) Существуют ли пятизначные числа $A$ и $B$, для которых $S = 400$?
в) Верно ли, что любое натуральное число от $1$ до $260$ является суммой для некоторых четырёхзначных чисел $A$ и $B$?
Источник: ФИПИ
Что такое $S$: у двух чисел одинаковой длины перемножают соответствующие цифры и складывают. Например, для $A=123$, $B=579$ выходит $S=1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 9=46$. Заметим главное: каждое слагаемое — произведение двух цифр, то есть число от $0$ до $81$ (наибольшее $9\cdot 9$).
Пункт а). Бывают ли трёхзначные $A,B$ с $S=100$? Возьмём $A=991$, $B=921$: $S=9\cdot 9+9\cdot 2+1\cdot 1=81+18+1=100$. Значит — да.
Пункт б). Бывают ли пятизначные $A,B$ с $S=400$? Каждое из пяти слагаемых не больше $81$, поэтому $S\leqslant 5\cdot 81=405$. Важно: следующее по величине произведение двух цифр после $81$ — это $72$ ($8\cdot 9$), между ними значений нет. Если $k$ слагаемых равны $81$, то $S\leqslant 81k+72(5-k)=360+9k$. Для $S=400$ нужно $360+9k\geqslant 400$, то есть $k\geqslant 5$, значит все пять равны $81$ и $S=405\ne 400$. Получить ровно $400$ нельзя — нет.
Пункт в). Верно ли, что любое число от $1$ до $260$ — это $S$ для каких-то четырёхзначных $A,B$? Да. Одно произведение вида $1\cdot k$ принимает любое значение от $0$ до $9$ подряд. У нас четыре слагаемых, каждое — от $0$ до $81$, и значения идут без пропусков. Поэтому четырьмя слагаемыми можно набрать любое целое от $0$ до $4\cdot 81=324$, в том числе любое от $1$ до $260$. Значит — да.
а) да; б) нет; в) да.