Что дано: 30 различных натуральных чисел, каждое либо чётное, либо оканчивается на 7; сумма равна 810. Пусть p чисел оканчиваются на 7 (они нечётные), а q=30-p чисел чётные.

Посмотрим на чётность. Чётные числа дают чётный вклад, а каждое оканчивающееся на 7 — нечётный. Значит чётность всей суммы совпадает с чётностью числа p. Сумма 810 чётна, поэтому p чётно.

Пункт а). Может ли быть 24 чётных (q=24, p=6)? Число p=6 чётно — годится по чётности. Проверим суммой: 6 наименьших на 7 (7,17,27,37,47,57, сумма 192) и 24 наименьших чётных (2,4,\dots,48, сумма 600) дают 792\leqslant 810. Остаток 18 добираем. Значит — да.

Пункт б). Может ли быть ровно два числа на 7 (p=2)? Тогда 28 чётных. Наименьшая сумма: 7+17=24 и 2+4+\dots+56=812, всего 836. Уже минимум 836\gt 810 — значит нет.

Пункт в). Найдём наименьшее p. Наименьшая сумма при данном p (это p наименьших на 7 и 30-p наименьших чётных) равна 6p^{2}-59p+930. Требуем 6p^{2}-59p+930\leqslant 810, то есть 6p^{2}-59p+120\leqslant 0, откуда p\geqslant 3 (примерно p от 3 до 7).

С учётом чётности p наименьшее значение — p=4: тогда минимум 790\leqslant 810, остаток 20 добираем; а при p=2 минимум 836\gt 810 невозможен. Наименьшее количество чисел на 7 — 4.