Последовател… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00009007

Что дано: $30$ различных натуральных чисел, каждое либо чётное, либо оканчивается на $7$; сумма равна $810$. Пусть $p$ чисел оканчиваются на $7$ (они нечётные), а $q=30-p$ чисел чётные.

Посмотрим на чётность. Чётные числа дают чётный вклад, а каждое оканчивающееся на $7$ — нечётный. Значит чётность всей суммы совпадает с чётностью числа $p$. Сумма $810$ чётна, поэтому $p$ чётно.

Пункт а). Может ли быть $24$ чётных ($q=24$, $p=6$)? Число $p=6$ чётно — годится по чётности. Проверим суммой: $6$ наименьших на $7$ ($7,17,27,37,47,57$, сумма $192$) и $24$ наименьших чётных ($2,4,\dots,48$, сумма $600$) дают $792\leqslant 810$. Остаток $18$ добираем. Значит — да.

Пункт б). Может ли быть ровно два числа на $7$ ($p=2$)? Тогда $28$ чётных. Наименьшая сумма: $7+17=24$ и $2+4+\dots+56=812$, всего $836$. Уже минимум $836\gt 810$ — значит нет.

Пункт в). Найдём наименьшее $p$. Наименьшая сумма при данном $p$ (это $p$ наименьших на $7$ и $30-p$ наименьших чётных) равна $6p^{2}-59p+930$. Требуем $6p^{2}-59p+930\leqslant 810$, то есть $6p^{2}-59p+120\leqslant 0$, откуда $p\geqslant 3$ (примерно $p$ от $3$ до $7$).

С учётом чётности $p$ наименьшее значение — $p=4$: тогда минимум $790\leqslant 810$, остаток $20$ добираем; а при $p=2$ минимум $836\gt 810$ невозможен. Наименьшее количество чисел на $7$ — 4.