ID: 00009005
В школах № $1$ и № $2$ учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере $2$ учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе № $2$ средний балл равнялся $42$. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № $1$ в школу № $2$, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе № $1$ уменьшился на $10\%$, средний балл в школе № $2$ также уменьшился на $10\%$.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе № $2$ изначально?
б) Каждый учащийся школы № $2$, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы № $1$. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы № $2$?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе № $1$ изначально?
Источник: ФИПИ
Что дано: в школе № 2 средний балл был $42$. Один ученик из школы № 1 (с баллом $s$) перешёл в № 2, и в обеих школах средний балл упал ровно на $10\%$. Разберём по шагам.
Пусть в школе № 2 было $n_2$ учеников, сумма баллов $42n_2$. После прихода ученика с баллом $s$ средний стал $0{,}9\cdot 42=37{,}8$, а учеников $n_2+1$.
Пункт а). Сколько могло быть $n_2$? Запишем новый средний: $\dfrac{42n_2+s}{n_2+1}=37{,}8$. Число $37{,}8=\dfrac{189}{5}$ — чтобы средний был таким при целой сумме баллов, нужно, чтобы $n_2+1$ делилось на $5$, то есть $n_2\equiv 4\pmod 5$. Из равенства находим $s=37{,}8(n_2+1)-42n_2=37{,}8-4{,}2n_2$. Балл положителен, $s\gt 0$, значит $n_2\lt 9$. Единственное подходящее — $n_2=4$ (тогда $s=37{,}8-16{,}8=21$). Значит в № 2 могло быть 4 ученика.
Пункт б). Каждый ученик № 2 набрал больше пришедшего, то есть больше $21$, значит не меньше $22$. Сумма баллов четвёрки равна $42\cdot 4=168$. Если один набрал $M$, то трое остальных дают не меньше $3\cdot 22=66$, поэтому $M\leqslant 168-66=102$. Значение $102$ достижимо (баллы $22,22,22,102$). Наибольший балл — 102.
Пункт в). Пусть в школе № 1 было $n_1$ учеников со средним $\text{avg}$ (целым). Ушёл ученик с баллом $s=21$, и средний стал $0{,}9\,\text{avg}$: $\dfrac{\text{avg}\cdot n_1-21}{n_1-1}=0{,}9\,\text{avg}$. Раскрыв, получаем $\text{avg}(n_1+9)=210$.
Чтобы учеников $n_1$ было побольше, средний $\text{avg}$ должен быть поменьше. Новый средний $0{,}9\,\text{avg}\geqslant 1$ требует $\text{avg}\geqslant 2$, а ещё $\text{avg}$ делит $210$ — берём $\text{avg}=2$. Тогда $n_1+9=105$, то есть $n_1=96$. Пример: $96$ учеников со средним $2$ (сумма $192$), уходит ученик с $21$, у оставшихся $95$ сумма $171$ и средний $1{,}8=0{,}9\cdot 2$. Наибольшее число — 96.
а) $4$; б) $102$; в) $96$.