Что дано: 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей. Любая набираемая сумма имеет вид 2x+5y, где 0\leqslant x\leqslant 16 (двушки) и 0\leqslant y\leqslant 29 (пятёрки).

Пункт а). Набрать 175? Возьмём все 29 пятёрок (145 рублей) и 15 двушек (30 рублей): 145+30=175. Значит — да.

Пункт б). Набрать 176? Нужно 2x+5y=176. Чтобы 5y=176-2x делилось на 5, нужно 2x\equiv 176\equiv 1\pmod 5, откуда x\equiv 3\pmod 5, то есть x\in\{3,8,13\} (в пределах 0..16). Считаем y=\dfrac{176-2x}{5}: при x=3,8,13 получаем y=34,32,30 — все больше 29. Значит подходящего набора нет, сумму 176 собрать нельзя.

Пункт в). Сколько рублёвых монет добавить, чтобы набирать любую сумму от 1 до 180? Без единиц самая большая сумма — 2\cdot 16+5\cdot 29=32+145=177. Чтобы дотянуть до 180, не хватает 180-177=3 рублей, поэтому рублёвых монет нужно хотя бы 3.

Трёх единиц хватает. Недостающие маленькие суммы 1 и 3 теперь набираются прямо рублёвыми монетами. А любую другую сумму до 180 получаем так: основную часть — двушками и пятёрками (они дают все суммы \geqslant 4 нужного вида), а «хвостик» 1, 2 или 3 добавляем единицами. Поэтому покрываются все суммы от 1 до 180. Наименьшее число рублёвых монет — 3.