Числа и их… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00009001

Что происходит: из дроби $\dfrac{a}{b}$ за ход делают $\dfrac{a+b}{2a+b}$. Сразу заметим два полезных факта: числитель $a+b$ меньше знаменателя $2a+b$, поэтому дробь остаётся правильной; и она несократима, ведь $\gcd(a+b,2a+b)=\gcd(a+b,a)=\gcd(b,a)=1$.

Пункт а). Можно ли из $\dfrac13$ получить $\dfrac{22}{31}$? Просто походим: $\dfrac13\to\dfrac{1+3}{2+3}=\dfrac45\to\dfrac{4+5}{8+5}=\dfrac9{13}\to\dfrac{9+13}{18+13}=\dfrac{22}{31}$. За три хода дошли. Значит — да.

Пункт б). Можно ли за два хода прийти к $\dfrac7{12}$? Посмотрим обратный ход. Если $\dfrac{p}{q}=\dfrac{a+b}{2a+b}$, то $a=q-p$, $b=2p-q$. Для $\dfrac7{12}$: $a=12-7=5$, $b=2\cdot 7-12=2$, получается $\dfrac52$ — неправильная дробь. Но любой результат хода — правильная дробь. Значит $\dfrac7{12}$ нельзя получить даже одним ходом, тем более двумя. Ответ — нет.

Пункт в). Посмотрим, что даёт ход дважды: $\dfrac{a}{b}\to\dfrac{a+b}{2a+b}\to\dfrac{(a+b)+(2a+b)}{2(a+b)+(2a+b)}=\dfrac{3a+2b}{4a+3b}$. Обратим это: для дроби $\dfrac{c}{d}$ получаем $a=3c-2d$, $b=3d-4c$.

Чтобы $\dfrac{c}{d}$ выходила за два хода из правильной несократимой дроби, нужно $a\gt 0$, $b\gt 0$ и $a\lt b$. Распишем эти условия: $3c-2d\gt 0$ даёт $\dfrac{c}{d}\gt \dfrac23$; $3d-4c\gt 0$ даёт $\dfrac{c}{d}\lt \dfrac34$; $a\lt b$ даёт $7c\lt 5d$, то есть $\dfrac{c}{d}\lt \dfrac57$.

Значит за два хода получаются ровно дроби со значением в промежутке $\left(\dfrac23;\dfrac57\right)$. Все дроби, не меньшие $\dfrac57$, недостижимы. Среди несократимых дробей, больших $0{,}7$, наименьшая — это сама $\dfrac57$ (она $\gt 0{,}7$ и лежит на правом краю, не входя в промежуток). Ответ — $\dfrac57$.