Задание 19 ЕГЭ по математике №00008998

Что дано: по кругу стоят $N$ различных натуральных чисел, каждое $\leqslant 365$. Сумма любых четырёх подряд делится на $4$, а сумма любых трёх подряд нечётна. Из этих условий вытащим, какими вообще могут быть числа.

Обозначим числа по кругу $a_1,a_2,\dots,a_N$. Сумма трёх подряд всегда нечётна: $a_i+a_{i+1}+a_{i+2}$ и $a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}$ нечётны, значит их разность $a_i-a_{i+3}$ чётна — числа на расстоянии $3$ одной чётности. Сумма четырёх подряд кратна $4$: вычитая соседние такие суммы, получаем $a_i\equiv a_{i+4}\pmod 4$ — в частности, и одной чётности на расстоянии $4$.

Чётность повторяется с шагом $3$ и с шагом $4$. Но если что-то имеет период $3$ и период $4$ одновременно, оно вообще постоянно. Значит все числа одной чётности. А так как сумма трёх нечётна — эта чётность нечётная. Все числа нечётные.

Пункт а). Может ли $N=200$? Различных нечётных чисел, не превосходящих $365$, всего $183$ (это $1,3,5,\dots,365$). Больше $183$ различных нечётных взять неоткуда, поэтому $N\leqslant 183\lt 200$. Значит — нет.

Пункт б). Может ли $N=109$? Условие $a_i\equiv a_{i+4}\pmod 4$ связывает места через $4$. Так как $109$ и $4$ взаимно просты, шаги по $4$ обходят весь круг, и все числа получают один и тот же остаток по модулю $4$. Нечётные числа $\leqslant 365$ с остатком $1$ — это $1,5,\dots,365$ (их $92$); с остатком $3$ — это $3,7,\dots,363$ (их $91$). В любом случае различных не больше $92$, а $109\gt 92$. Значит — нет.

Пункт в). Чтобы $N$ было побольше, хочется использовать оба остатка $1$ и $3$ по модулю $4$. Это возможно, когда $N$ делится на $2$, но не на $4$ (тогда шаги по $4$ разбивают круг на чётные и нечётные позиции, и на них можно держать разные остатки). Поставим на одни позиции числа с остатком $1$, на другие — с остатком $3$.

Проверим условия: сумма четырёх подряд = два числа с остатком $1$ плюс два с остатком $3$ $\equiv 2\cdot 1+2\cdot 3=8\equiv 0\pmod 4$ — годится; сумма трёх нечётных нечётна — годится. Чисел с остатком $3$ всего $91$, значит таких позиций не больше $91$, а столько же позиций с остатком $1$. Поэтому $N\leqslant 182$. Набор из $91$ числа с остатком $1$ и $91$ с остатком $3$ (всего $182$) такой круг даёт. Наибольшее $N$ — 182.