ID: 00008996
С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на $10$, а затем к получившейся сумме прибавляют $3$.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число $224$?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число $314$?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
Источник: ФИПИ
Что происходит: к трёхзначному числу прибавляют цифру десятков, умноженную на $10$, а потом ещё $3$. Запишем $N=100a+10b+c$. Цифра десятков — это $b$, поэтому прибавляем $10b$ и $3$:
$$R=N+10b+3=100a+20b+c+3.$$
Пункт а). Может ли получиться $224$? Нужно $100a+20b+c+3=224$, то есть $100a+20b+c=221$. При $a=2$: $20b+c=21$, подходит $b=1$, $c=1$. Тогда $N=211$, и $R=211+10+3=224$. Значит — да.
Пункт б). Может ли получиться $314$? Нужно $100a+20b+c=311$ при цифрах $a\in\{1,2,3\}$, $0\leqslant b,c\leqslant 9$. Переберём $a$. При $a=3$: $20b+c=11$, значит $b=0$, $c=11$ — невозможно. При $a=2$: $20b+c=111$, но даже при $b=5$, $c=9$ это лишь $109$, а $b=6$ даёт $c=-9$ — невозможно. При $a=1$: $20b+c=211$, а максимум $20\cdot 9+9=189$ — невозможно. Ни один случай не подходит, значит — нет.
Пункт в). Найдём наибольшее отношение $\dfrac{R}{N}$. Распишем:
$$\dfrac{R}{N}=\dfrac{N+10b+3}{N}=1+\dfrac{10b+3}{100a+10b+c}.$$
Чтобы отношение было побольше, надо сделать дробь как можно больше: числитель $10b+3$ — максимальным, знаменатель — минимальным. Числитель максимален при $b=9$ (это $93$). Знаменатель $100a+10b+c$ при $b=9$ минимален, если $a=1$ и $c=0$. Тогда $N=190$, $R=190+90+3=283$, и отношение равно $\dfrac{283}{190}$. Наибольшее отношение — $\dfrac{283}{190}$.
а) да; б) нет; в) $\dfrac{283}{190}$.