Что происходит: из трёхзначного числа вычитают сумму его цифр, а разность делят на 3. Запишем число как N=100a+10b+c (сотни a, десятки b, единицы c), сумма цифр S=a+b+c.

Упростим результат операции. Разность N-S=100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b=9(11a+b). Делим на 3:

\dfrac{N-S}{3}=\dfrac{9(11a+b)}{3}=3(11a+b).

Вывод сразу важный: результат всегда кратен 3 и зависит только от цифр сотен и десятков (единица c выпадает).

Пункт а). Может ли получиться 300? Нужно 3(11a+b)=300, то есть 11a+b=100. Подходит a=9, b=1 (тогда 99+1=100). Например, из N=910 получаем 3\cdot 100=300. Значит — да.

Пункт б). Может ли получиться 151? Результат всегда кратен 3, а 151 на 3 не делится (сумма цифр 1+5+1=7). Значит — нет.

Пункт в). Сколько разных результатов выходит из чисел от 100 до 600? Результат равен 3(11a+b), поэтому достаточно посчитать, сколько различных значений принимает 11a+b. У чисел 100\dots 599 цифра сотен a равна 1,2,3,4,5, а b — любая из 0,\dots,9; ещё отдельно число 600 даёт a=6,\ b=0.

При фиксированном a величина 11a+b пробегает десять подряд идущих чисел 11a,11a+1,\dots,11a+9. Соседние блоки не пересекаются: блок при a кончается на 11a+9, а следующий начинается с 11(a+1)=11a+11 — между ними дырка. Значит при a=1,\dots,5 это 5\cdot 10=50 разных значений, плюс одно при a=6 (число 66). Всего 51 различное число.