Последовател… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00008954

Что дано: $10$ различных натуральных чисел, и среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти и шести из них — целое. Главное — вытащить отсюда простое свойство чисел.

Если среднее любых трёх целое, то сумма любых трёх делится на $3$. Возьмём две тройки, отличающиеся одним числом: $a+b+c$ и $a+b+d$ обе делятся на $3$, значит их разность $c-d$ делится на $3$. То есть разность любых двух чисел кратна $3$. Точно так же из «по четыре, пять, шесть» получаем, что разность любых двух чисел делится на $4$, $5$ и $6$. А раз так — она делится на их наименьшее общее кратное $\text{НОК}(3,4,5,6)=60$.

Значит все десять чисел дают одинаковый остаток при делении на $60$. Одно из чисел $30033=60\cdot 500+33$ даёт остаток $33$, поэтому все числа сравнимы с $33$ по модулю $60$ (короче: $\equiv 33\pmod{60}$).

Пункт а). Может ли быть число $303$? Его остаток при делении на $60$ равен $3$ ($303=60\cdot 5+3$), а должен быть $33$. Не совпадает — значит нет.

Пункт б). Может ли отношение двух чисел равняться $31$? Пусть $a=31b$, причём $b\equiv 33\pmod{60}$. Тогда $a\equiv 31\cdot 33\pmod{60}$. Считаем: $31\cdot 33=1023=60\cdot 17+3$, то есть $a\equiv 3\pmod{60}$. Но должно быть $a\equiv 33$ — противоречие. Значит нет.

Пункт в). Пусть отношение двух чисел равно целому $n$: $a=nb$, где оба $\equiv 33\pmod{60}$. Тогда $33n\equiv 33\pmod{60}$, то есть $33(n-1)$ делится на $60$. У чисел $33$ и $60$ общий делитель $3$; поделим на него: $11(n-1)$ делится на $20$. А $11$ и $20$ взаимно просты, поэтому на $20$ должно делиться само $(n-1)$. Наименьшее $n\gt 1$ с этим свойством — $n=21$.

Проверим, что $n=21$ достижимо: возьмём $b=33$ и $a=33\cdot 21=693=60\cdot 11+33$ — оба числа сравнимы с $33$ по модулю $60$, их можно включить в набор. Наименьшее значение $n$ — 21.