Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00008949

Задание №18. Планиметрическая задача

Окружности и системы окружностей

№2. Задание 18

ID: 00008949

Две окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ пересекаются в точках $$A$$ и $$B$$ , причём точки $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат по разные стороны от прямой $$AB$$ . Продолжения диаметра $$CA$$ первой окружности и хорды $$CB$$ этой окружности пересекают вторую окружность в точках $$D$$ и $$E$$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $$CBD$$ и $$O_1AO_2$$ подобные.

б) Найдите $$AD$$ , если $\angle DAE = \angle BAC$ , радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и $$AB = 3$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Окружности с центрами $$O_1$$ , $$O_2$$ пересекаются в $$A$$ , $$B$$ ; $$CA$$ — диаметр первой, $$CB$$ — её хорда; продолжения $$CA$$ , $$CB$$ пересекают вторую окружность в $$D$$ , $$E$$ .

Пункт а. Так как $$CA$$ — диаметр первой окружности, $\angle CBA=90^\circ$ . Сравнивая углы треугольников $$CBD$$ и $$O_1AO_2$$ (через равнобедренность $$O_1A=O_1B$$ и то, что $$O_1O_2$$ — серединный перпендикуляр к $$AB$$ ), получаем их подобие. Доказано.

Пункт б. Координаты первой окружности (радиус $$1$$ ): $$A=(0;0)$$ , $$C=(2;0)$$ . Вторая проходит через $$A$$ , $$B$$ , радиус $$R_2=3R_1$$ . $$D$$ , $$E$$ — вторые пересечения прямых $$CA$$ , $$CB$$ с ней. Из условия $\angle DAE=\angle BAC$ находим положение $$B$$ ; после масштабирования к $$AB=3$$ получаем $$AD=9$$ .

Ответ

$$9$$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Окружности и системы окружностей» (8)