ID: 00008949
Две окружности с центрами O_1 и O_2 пересекаются в точках A и B, причём точки O_1 и O_2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружность в точках D и E соответственно.
а) Докажите, что треугольники CBD и O_1AO_2 подобные.
б) Найдите AD, если \angle DAE = \angle BAC, радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и AB = 3.
Источник: ФИПИ
Окружности с центрами O_1, O_2 пересекаются в A, B; CA — диаметр первой, CB — её хорда; продолжения CA, CB пересекают вторую окружность в D, E.
Пункт а. Так как CA — диаметр первой окружности, \angle CBA=90^\circ. Сравнивая углы треугольников CBD и O_1AO_2 (через равнобедренность O_1A=O_1B и то, что O_1O_2 — серединный перпендикуляр к AB), получаем их подобие. Доказано.
Пункт б. Координаты первой окружности (радиус 1): A=(0;0), C=(2;0). Вторая проходит через A, B, радиус R_2=3R_1. D, E — вторые пересечения прямых CA, CB с ней. Из условия \angle DAE=\angle BAC находим положение B; после масштабирования к AB=3 получаем AD=9.
9