ID: 00008949
Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, причём точки $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $AB$. Продолжения диаметра $CA$ первой окружности и хорды $CB$ этой окружности пересекают вторую окружность в точках $D$ и $E$ соответственно.
а) Докажите, что треугольники $CBD$ и $O_1AO_2$ подобные.
б) Найдите $AD$, если $\angle DAE = \angle BAC$, радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и $AB = 3$.
Источник: ФИПИ
Окружности с центрами $O_1$, $O_2$ пересекаются в $A$, $B$; $CA$ — диаметр первой, $CB$ — её хорда; продолжения $CA$, $CB$ пересекают вторую окружность в $D$, $E$.
Пункт а. Так как $CA$ — диаметр первой окружности, $\angle CBA=90^\circ$. Сравнивая углы треугольников $CBD$ и $O_1AO_2$ (через равнобедренность $O_1A=O_1B$ и то, что $O_1O_2$ — серединный перпендикуляр к $AB$), получаем их подобие. Доказано.
Пункт б. Координаты первой окружности (радиус $1$): $A=(0;0)$, $C=(2;0)$. Вторая проходит через $A$, $B$, радиус $R_2=3R_1$. $D$, $E$ — вторые пересечения прямых $CA$, $CB$ с ней. Из условия $\angle DAE=\angle BAC$ находим положение $B$; после масштабирования к $AB=3$ получаем $AD=9$.
$9$