ID: 00008944
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC.
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB = 5, BC = 10, \angle BAD = 60^{\circ}.
Источник: ФИПИ
В параллелограмме ABCD на BC выбрана M с AM=MC.
Пункт а. Из AM=MC треугольник AMC равнобедренный, \angle MAC=\angle MCA. Так как BC\parallel AD, \angle MCA=\angle CAD. Значит \angle MAC=\angle CAD — AC биссектриса угла A треугольника AMD, поэтому центр вписанной окружности лежит на AC. Доказано.
Пункт б. A=(0;0), D=(10;0), B=(2{,}5;2{,}5\sqrt3) (AB=5, \angle BAD=60^\circ), C=(12{,}5;2{,}5\sqrt3). Из AM=MC: M=(5{,}5;2{,}5\sqrt3). Стороны AMD: AM=7, MD=\sqrt{39}, AD=10; S=\dfrac12\cdot10\cdot2{,}5\sqrt3=\dfrac{25\sqrt3}{2}, p=\dfrac{17+\sqrt{39}}{2}. Радиус r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{17\sqrt3-3\sqrt{13}}{10}.
\dfrac{17\sqrt{3} - 3\sqrt{13}}{10}