Задание 18 ЕГЭ по математике №00008944

Задание №18. Планиметрическая задача

Вписанные окружности и треугольники

№2. Задание 18

ID: 00008944

На стороне $$BC$$ параллелограмма $$ABCD$$ выбрана точка $$M$$ такая, что $$AM = MC$$ .

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник $$AMD$$ окружности лежит на диагонали $$AC$$ .

б) Найдите радиус вписанной в треугольник $$AMD$$ окружности, если $$AB = 5$$ , $$BC = 10$$ , $\angle BAD = 60^{\circ}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

В параллелограмме $$ABCD$$ на $$BC$$ выбрана $$M$$ с $$AM=MC$$ .

Пункт а. Из $$AM=MC$$ треугольник $$AMC$$ равнобедренный, $\angle MAC=\angle MCA$ . Так как $BC\parallel AD$ , $\angle MCA=\angle CAD$ . Значит $\angle MAC=\angle CAD$ — $$AC$$ биссектриса угла $$A$$ треугольника $$AMD$$ , поэтому центр вписанной окружности лежит на $$AC$$ . Доказано.

Пункт б. $$A=(0;0)$$ , $$D=(10;0)$$ , $B=(2{,}5;2{,}5\sqrt3)$ ( $$AB=5$$ , $\angle BAD=60^\circ$ ), $C=(12{,}5;2{,}5\sqrt3)$ . Из $$AM=MC$$ : $M=(5{,}5;2{,}5\sqrt3)$ . Стороны $$AMD$$ : $$AM=7$$ , $MD=\sqrt{39}$ , $$AD=10$$ ; $S=\dfrac12\cdot10\cdot2{,}5\sqrt3=\dfrac{25\sqrt3}{2}$ , $p=\dfrac{17+\sqrt{39}}{2}$ . Радиус $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{17\sqrt3-3\sqrt{13}}{10}$ .

Ответ

$\dfrac{17\sqrt{3} - 3\sqrt{13}}{10}$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Вписанные окружности и треугольники» (8)