ID: 00008944
На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$ такая, что $AM = MC$.
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит на диагонали $AC$.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник $AMD$ окружности, если $AB = 5$, $BC = 10$, $\angle BAD = 60^{\circ}$.
Источник: ФИПИ
В параллелограмме $ABCD$ на $BC$ выбрана $M$ с $AM=MC$.
Пункт а. Из $AM=MC$ треугольник $AMC$ равнобедренный, $\angle MAC=\angle MCA$. Так как $BC\parallel AD$, $\angle MCA=\angle CAD$. Значит $\angle MAC=\angle CAD$ — $AC$ биссектриса угла $A$ треугольника $AMD$, поэтому центр вписанной окружности лежит на $AC$. Доказано.
Пункт б. $A=(0;0)$, $D=(10;0)$, $B=(2{,}5;2{,}5\sqrt3)$ ($AB=5$, $\angle BAD=60^\circ$), $C=(12{,}5;2{,}5\sqrt3)$. Из $AM=MC$: $M=(5{,}5;2{,}5\sqrt3)$. Стороны $AMD$: $AM=7$, $MD=\sqrt{39}$, $AD=10$; $S=\dfrac12\cdot10\cdot2{,}5\sqrt3=\dfrac{25\sqrt3}{2}$, $p=\dfrac{17+\sqrt{39}}{2}$. Радиус $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{17\sqrt3-3\sqrt{13}}{10}$.
$\dfrac{17\sqrt{3} - 3\sqrt{13}}{10}$