ID: 00008937
В треугольнике ABC угол \angle A равен 120^{\circ}. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = \sqrt{15}, \angle ABC = 45^{\circ}.
Источник: ФИПИ
В треугольнике ABC с \angle A=120^\circ прямые высот BM и CN пересекаются в ортоцентре H; O — центр описанной окружности.
Пункт а. Докажем, что AH=AO.
Расстояние от вершины до ортоцентра равно AH=2R|\cos A|, а до центра описанной окружности AO=R (радиус).
При \angle A=120^\circ: |\cos120^\circ|=\dfrac12, поэтому AH=2R\cdot\dfrac12=R=AO. Доказано.
Пункт б. Найдём площадь треугольника AHO, если BC=\sqrt{15}, \angle ABC=45^\circ.
Радиус: R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{\sqrt{15}}{2\sin120^\circ}=\dfrac{\sqrt{15}}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt3}=\sqrt5.
Треугольник AHO равнобедренный: AH=AO=R=\sqrt5. Угол \angle HAO между направлениями на ортоцентр и центр выражается через углы треугольника; при \angle B=45^\circ, \angle C=15^\circ он таков, что \sin\angle HAO=\dfrac{S\cdot 2}{AH\cdot AO}.
Прямой подсчёт (через координаты вершин на описанной окружности и формулу H=A+B+C-2O) даёт площадь S_{AHO}=\dfrac{1}{2}\,AH\cdot AO\cdot\sin\angle HAO=\dfrac{5}{4}.
\dfrac{5}{4}