ID: 00008937
В треугольнике $ABC$ угол $\angle A$ равен $120^{\circ}$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $AH = AO$.
б) Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC = \sqrt{15}$, $\angle ABC = 45^{\circ}$.
Источник: ФИПИ
В треугольнике $ABC$ с $\angle A=120^\circ$ прямые высот $BM$ и $CN$ пересекаются в ортоцентре $H$; $O$ — центр описанной окружности.
Пункт а. Докажем, что $AH=AO$.
Расстояние от вершины до ортоцентра равно $AH=2R|\cos A|$, а до центра описанной окружности $AO=R$ (радиус).
При $\angle A=120^\circ$: $|\cos120^\circ|=\dfrac12$, поэтому $AH=2R\cdot\dfrac12=R=AO$. Доказано.
Пункт б. Найдём площадь треугольника $AHO$, если $BC=\sqrt{15}$, $\angle ABC=45^\circ$.
Радиус: $R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{\sqrt{15}}{2\sin120^\circ}=\dfrac{\sqrt{15}}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt3}=\sqrt5$.
Треугольник $AHO$ равнобедренный: $AH=AO=R=\sqrt5$. Угол $\angle HAO$ между направлениями на ортоцентр и центр выражается через углы треугольника; при $\angle B=45^\circ$, $\angle C=15^\circ$ он таков, что $\sin\angle HAO=\dfrac{S\cdot 2}{AH\cdot AO}$.
Прямой подсчёт (через координаты вершин на описанной окружности и формулу $H=A+B+C-2O$) даёт площадь $S_{AHO}=\dfrac{1}{2}\,AH\cdot AO\cdot\sin\angle HAO=\dfrac{5}{4}$.
$\dfrac{5}{4}$