ID: 00008934
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle BCA = 45^{\circ}$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC = 2\sqrt{3}$.
Источник: ФИПИ
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$, $AB$; $AH$ — высота; $\angle BAC=60^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$.
Пункт а. Докажем, что $A_1$, $B_1$, $C_1$, $H$ лежат на одной окружности.
Середины сторон $A_1$, $B_1$, $C_1$ и основания высот треугольника лежат на одной окружности — это известная окружность девяти точек.
Точка $H$ — основание высоты из $A$, поэтому она тоже принадлежит этой окружности. Значит, четыре точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $H$ концикличны. Доказано.
Пункт б. Найдём $A_1H$, если $BC=2\sqrt3$.
$A_1$ — середина $BC$, $H$ — основание высоты из $A$ на $BC$. Расстояние между ними: $A_1H=\left|\dfrac{BC}{2}-BH\right|$, где $BH=AB\cos\angle B$ (проекция $AB$ на $BC$).
Угол $\angle B=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ$. По теореме синусов $AB=BC\cdot\dfrac{\sin\angle C}{\sin\angle A}=BC\cdot\dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}$.
Подставив $BC=2\sqrt3$ и вычислив, получаем $A_1H=1$.
$1$