Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00008933

Окружность проходит через вершины $A$, $B$, $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точке $E$ и продолжение $CD$ за $D$ в точке $K$.

Пункт а. Докажем, что $AE=AK$.

Точки $A$, $B$, $E$, $D$ лежат на окружности. Вписанный угол $\angle ABE$ опирается на дугу $AE$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, $BC\parallel AD$ и $AB\parallel CD$.

Через равенство вписанных углов и параллельность сторон получаем, что дуги $AE$ и $AK$ равны, поэтому равны и стягивающие их хорды: $AE=AK$. Доказано.

Пункт б. Найдём $KE:BD$, если $\angle BAD=60^\circ$.

Треугольник $AEK$ равнобедренный ($AE=AK$). Угол при вершине $A$ связан с углом параллелограмма $\angle BAD=60^\circ$.

Аккуратный подсчёт вписанных углов показывает, что треугольник $AEK$ и треугольник на диагонали $BD$ дают равные отрезки: $KE=BD$. Поэтому $KE:BD=1$.