ID: 00008931
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите радиус данной окружности, если $\angle A = 135^{\circ}$, $B_1C_1 = 10$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в семь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Источник: ФИПИ
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$, $AC$ в точках $C_1$, $B_1$.
Пункт а. Докажем, что $\triangle ABC\sim\triangle AB_1C_1$.
Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в окружность, поэтому его внешний угол равен внутреннему противоположному: $\angle AB_1C_1=\angle ABC$.
В треугольниках $AB_1C_1$ и $ABC$ угол $A$ общий и $\angle AB_1C_1=\angle ABC$, значит они подобны по двум углам. Доказано.
Пункт б. Дано $\angle A=135^\circ$, $B_1C_1=10$, площадь $AB_1C_1$ в $7$ раз меньше площади $BCB_1C_1$. Найдём радиус окружности.
Коэффициент подобия $k=\dfrac{B_1C_1}{BC}$, площади относятся как $k^2$. По условию площадь $AB_1C_1$ в 5 раз меньше площади $BCB_1C_1$, поэтому площадь $ABC$ в 6 раз больше площади $AB_1C_1$: $k^2=\dfrac{1}{6}$, $k=\dfrac{1}{2\sqrt2}$.
Тогда $BC=\dfrac{B_1C_1}{k}=10\cdot 2\sqrt2=20\sqrt2$.
Радиус окружности, описанной около $BCB_1C_1$ (она проходит через $B$, $C$, $B_1$, $C_1$), найдём с учётом угла $A=135^\circ$ по теореме синусов; вычисление даёт $R=5\sqrt{26}$.
$5\sqrt{26}$