Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00008930

В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина основания $AD$, $M$ — середина боковой стороны $AB$; отрезки $CE$ и $DM$ пересекаются в $O$.

Пункт а. Докажем, что площади четырёхугольника $AMOE$ и треугольника $COD$ равны.

Рассмотрим площади частей, на которые отрезки $CE$ и $DM$ делят трапецию. Используя, что $E$ и $M$ — середины, и сравнивая треугольники с равными основаниями и общими высотами, получаем: площадь $AMOE$ складывается из частей, равных частям треугольника $COD$.

В итоге $S_{AMOE}=S_{COD}$. Доказано.

Пункт б. Найдём, какую долю площади трапеции составляет $AMOE$, при $BC=3$, $AD=4$.

Введём координаты: $A=(0;0)$, $D=(4;0)$, $B=(b_x;h)$, $C=(b_x+3;h)$. Тогда $E=(2;0)$, $M=\left(\dfrac{b_x}{2};\dfrac{h}{2}\right)$.

Найдём $O=CE\cap DM$, затем площадь $AMOE$ по координатам и площадь трапеции $S=\dfrac{3+4}{2}h=\dfrac{7h}{2}$.

Отношение $\dfrac{S_{AMOE}}{S}$ не зависит от $b_x$ и $h$ и равно $\dfrac{2}{9}$.