Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00008928

В равнобедренной трапеции $ABCD$ биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O$; через $O$ проведена прямая, параллельная основаниям, пересекающая $AB$ в $M$ и $CD$ в $N$.

Пункт а. Докажем, что отрезок $MN$ внутри трапеции равен боковой стороне.

Прямая $MN\parallel AD$, поэтому $\angle MOA=\angle OAD$ (накрест лежащие). Но $AO$ — биссектриса, значит $\angle OAD=\angle OAM$. Отсюда $\angle MOA=\angle MAO$, и треугольник $AMO$ равнобедренный: $AM=MO$.

Аналогично $CN=NO$. В равнобедренной трапеции $MB=CN$ (симметрия), поэтому $MN=MO+ON=AM+CN=AM+MB=AB$ — отрезок равен боковой стороне. Доказано.

Пункт б. Найдём отношение оснований, если $AO=CO$ и прямая делит $AB$ как $AM:MB=1:2$.

Пусть $\angle OAD=\alpha$, тогда угол при основании $AD$ равен $2\alpha$ (так как $AO$ — биссектриса полного угла $A$... аккуратно: $\angle BAD=2\alpha$). Обозначим $MO=AM=a$; из $AM:MB=1:2$ имеем $MB=2a$, тогда $CN=MB=2a$ и $ON=CN=2a$.

В треугольниках $AMO$ и $CNO$ по теореме косинусов: $AO^2=a^2+a^2-2a^2\cos(180^\circ-2\alpha)=2a^2(1+\cos2\alpha)$ и $CO^2=(2a)^2+(2a)^2-2(2a)^2\cos2\alpha=8a^2(1-\cos2\alpha)$.

Из $AO=CO$: $2a^2(1+\cos2\alpha)=8a^2(1-\cos2\alpha)$, то есть $1+\cos2\alpha=4-4\cos2\alpha$, откуда $5\cos2\alpha=3$, $\cos2\alpha=\dfrac{3}{5}$.

Длины оснований через проекции: $AD=MN+2\,AM\cos2\alpha$ и $BC=MN-2\,MB\cos2\alpha$ (опуская высоты из $M$, $N$). Подставляя $MN=AB=AM+MB=3a$, $\cos2\alpha=\dfrac35$, получаем $AD=3a+2a\cdot\dfrac35=3a+\dfrac{6a}{5}=\dfrac{21a}{5}$ и $BC=3a-2\cdot2a\cdot\dfrac35=3a-\dfrac{12a}{5}=\dfrac{3a}{5}$.

Отношение $BC:AD=\dfrac{3a/5}{21a/5}=\dfrac{3}{21}=\dfrac{1}{7}$.