В равнобедренной трапеции ABCD основание AD вдвое больше BC; CH — высота из вершины C на AD.

Пункт а. Докажем, что CH делит AD на отрезки в отношении 3:1.

Пусть BC=t, тогда AD=2t. В равнобедренной трапеции «свес» с каждой стороны равен \dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{2t-t}{2}=\dfrac{t}{2}.

Высота CH из правой верхней вершины C попадает в точку H, отстоящую от D на \dfrac{t}{2}. Тогда DH=\dfrac{t}{2}, а AH=AD-DH=2t-\dfrac{t}{2}=\dfrac{3t}{2}.

Отношение AH:HD=\dfrac{3t/2}{t/2}=3:1 — один отрезок втрое больше другого. Доказано.

Пункт б. Найдём расстояние от C до середины OD, если BC=16, AB=10.

Тогда AD=32, свес =\dfrac{32-16}{2}=8. Высота h=\sqrt{AB^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6.

Координаты: A=(0;0), D=(32;0), B=(8;6), C=(24;6). Точка пересечения диагоналей O=AC\cap BD.

Диагональ AC: от (0;0) к (24;6), BD: от (8;6) к (32;0). Решая, O=(16{,}8;4{,}2)... точнее O делит диагонали в отношении оснований BC:AD=1:2, поэтому O=\left(\dfrac{2\cdot24+1\cdot0}{3}? \right) — вычисляем: O=(16;4).

Середина отрезка OD: \left(\dfrac{16+32}{2};\dfrac{4+0}{2}\right)=(24;2). Расстояние от C=(24;6): \sqrt{(24-24)^2+(6-2)^2}=\sqrt{16}=4.