Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00008927

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ вдвое больше $BC$; $CH$ — высота из вершины $C$ на $AD$.

Пункт а. Докажем, что $CH$ делит $AD$ на отрезки в отношении $3:1$.

Пусть $BC=t$, тогда $AD=2t$. В равнобедренной трапеции «свес» с каждой стороны равен $\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{2t-t}{2}=\dfrac{t}{2}$.

Высота $CH$ из правой верхней вершины $C$ попадает в точку $H$, отстоящую от $D$ на $\dfrac{t}{2}$. Тогда $DH=\dfrac{t}{2}$, а $AH=AD-DH=2t-\dfrac{t}{2}=\dfrac{3t}{2}$.

Отношение $AH:HD=\dfrac{3t/2}{t/2}=3:1$ — один отрезок втрое больше другого. Доказано.

Пункт б. Найдём расстояние от $C$ до середины $OD$, если $BC=16$, $AB=10$.

Тогда $AD=32$, свес $=\dfrac{32-16}{2}=8$. Высота $h=\sqrt{AB^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$.

Координаты: $A=(0;0)$, $D=(32;0)$, $B=(8;6)$, $C=(24;6)$. Точка пересечения диагоналей $O=AC\cap BD$.

Диагональ $AC$: от $(0;0)$ к $(24;6)$, $BD$: от $(8;6)$ к $(32;0)$. Решая, $O=(16{,}8;4{,}2)$... точнее $O$ делит диагонали в отношении оснований $BC:AD=1:2$, поэтому $O=\left(\dfrac{2\cdot24+1\cdot0}{3}? \right)$ — вычисляем: $O=(16;4)$.

Середина отрезка $OD$: $\left(\dfrac{16+32}{2};\dfrac{4+0}{2}\right)=(24;2)$. Расстояние от $C=(24;6)$: $\sqrt{(24-24)^2+(6-2)^2}=\sqrt{16}=4$.