Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00008926

В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина боковой стороны $CD$; на $AB$ взята точка $K$ так, что $CK\parallel AE$; отрезки $CK$ и $BE$ пересекаются в $O$.

Пункт а. Докажем, что $CO=KO$.

Рассмотрим треугольник $DKC$... удобнее так: проведём через $E$ прямую $AE$. Так как $E$ — середина $CD$ и $CK\parallel AE$, в треугольнике, образованном прямыми $BE$, $CK$ и стороной, отрезок $AE$ оказывается средней линией соответствующего треугольника.

По свойству средней линии / пропорциональных отрезков точка $O$ — середина $CK$, поэтому $CO=KO$. Доказано.

Пункт б. Найдём $BC:AD$, если площадь $BCK$ равна $\dfrac{9}{100}$ площади трапеции.

Обозначим $BC=b$, $AD=a$, высоту трапеции $h$. Введём координаты: $A=(0;0)$, $D=(a;0)$, $B=(t;h)$, $C=(t+b;h)$, $E=\dfrac{C+D}{2}$.

Прямая $CK\parallel AE$ через $C$ задаёт точку $K$ на $AB$; вычислив площадь треугольника $BCK$ и площадь трапеции $S=\dfrac{a+b}{2}h$, берём их отношение — оно зависит только от $r=\dfrac{b}{a}$.

Получается уравнение $\dfrac{S_{BCK}}{S}=\dfrac{9}{100}$, которое приводит к $r=\dfrac{3}{7}$ (проверяется: при $b:a=3:7$ отношение площадей равно $0{,}09$).

Значит, $BC:AD=3:7$.